C

$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore EA=EB$，
$\therefore \angle B=\angle DAE$，
$\because AE$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle DAE=\angle CAE$，
$\therefore \angle B=\angle CAE$，
故$A$不符合题意；
$\because DE\bot AB$，
$\therefore \angle ADE=\angle C=90^{\circ}$，
$\because \angle DAE=\angle CAE$，
$\therefore \angle AED=\angle AEC$，
故$B$不符合题意；
$\because \angle B=\angle DAE=\angle CAE$，$\angle C=90^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle DAE+\angle CAE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A=\angle CAE=30^{\circ}$，
$\therefore AE=2EC$，$AB=2AC$，
故$C$符合题意，$D$不符合题意.
故选：$C$.