证明：$\because \angle A=\angle D=90^{\circ}$，$AC=DB$，$AC$和$BD$相交于点$E$，$\angle BEC$的平分线交$BC$于点$F$，
$\therefore \triangle ABC$和$\triangle DCB$都是直角三角形，
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=DB\\ BC=CB\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle ABC$≌$Rt\triangle DCB\left(HL\right)$，
$\therefore \angle ACB=\angle DBC$，
$\therefore EB=EC$，
$\because EF$平分$\angle BEC$，
$\therefore EF$是$BC$边上的高，
$\therefore EF\bot BC$.

证明：$\because \angle A=\angle D=90^{\circ}$，$AC=DB$，$AC$和$BD$相交于点$E$，$\angle BEC$的平分线交$BC$于点$F$，
$\therefore \triangle ABC$和$\triangle DCB$都是直角三角形，
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=DB\\ BC=CB\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle ABC$≌$Rt\triangle DCB\left(HL\right)$，
$\therefore \angle ACB=\angle DBC$，
$\therefore EB=EC$，
$\because EF$平分$\angle BEC$，
$\therefore EF$是$BC$边上的高，
$\therefore EF\bot BC$.