D

如图，延长$EB$至$G$，使$BE=BG$，设$AC$与$DE$交于点$M$，
$\because \angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore AB\bot GE$，
$\therefore AB$垂直平分$GE$，
$\therefore AG=AE$，$\angle GAB=\angle BAE=\frac{1}{2}\angle DAC$，
$\because \angle BAE=\frac{1}{2}\angle GAE$，
$\therefore \angle GAE=\angle CAD$，
$\therefore \angle GAE+\angle EAC=\angle CAD+\angle EAC$，
$\therefore \angle GAC=\angle EAD$，
在$\triangle GAC$与$\triangle EAD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAC=∠EAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle GAC$≌$\triangle EAD\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle G=\angle AED$，$\angle ACB=\angle ADE$，故①是正确的；
$\because AG=AE$，
$\therefore \angle G=\angle AEG=\angle AED$，故③正确；
$\therefore AE$平分$\angle BED$，
当$\angle BAE=\angle EAC$时，$\angle AME=\angle ABE=90^{\circ}$，则$AC\bot DE$，
当$\angle BAE\neq \angle EAC$时，$\angle AME\neq \angle ABE$，则无法说明$AC\bot DE$，故②是不正确的；
$\because \triangle GAC$≌$\triangle EAD$，
$\therefore CG=DE$，
$\because CG=CE+GE=CE+2BE$，
$\therefore DE=CE+2BE$，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④.
故选：$D$.