题目
如图,在
△ABC中,
∠B=90∘,直线
CD⊥BC于点
C,
CE平分
∠ACD交
BA延长线于点
E,
EF⊥EC,交
CD于点
F.
(1)试判断
AB与
CD的位置关系,并说明理由.
(2)若
∠EFC=43∠BAC,求
∠AEC的度数.
知识点：线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形全等的判定、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、直角三角形的性质、三角形的面积章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
（1）结论：
AB∥CD.理由：
∵CD⊥CB，
∴∠DCB=90∘，
∵∠B=90∘，
∴∠B+∠DCB=180∘，
∴CD∥AB；
(2)设
∠BAC=4x，则
∠EFC=3x，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90∘，
∵EC平分
∠ACD，
∴∠FEC=∠ECA=90∘−3x，
∵CD∥EB，
∴∠BAC=∠DCA，
∠AEC=∠DCE，
∴4x=2(90∘−3x)，
∴x=18∘，
∴∠AEC=∠DCE=90∘−3×18∘=36∘.
解析
（1）结论：
AB∥CD.理由：
∵CD⊥CB，
∴∠DCB=90∘，
∵∠B=90∘，
∴∠B+∠DCB=180∘，
∴CD∥AB；
(2)设
∠BAC=4x，则
∠EFC=3x，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90∘，
∵EC平分
∠ACD，
∴∠FEC=∠ECA=90∘−3x，
∵CD∥EB，
∴∠BAC=∠DCA，
∠AEC=∠DCE，
∴4x=2(90∘−3x)，
∴x=18∘，
∴∠AEC=∠DCE=90∘−3×18∘=36∘.
