$(1)\because |1-4|=3$，

$\therefore 4$和$1$的两点之间的距离是$3$；

$\because |-3-2|=5$，

$\therefore -3$和$2$两点之间的距离是$5$；

$\because |a-\left(-1\right)|=3$，

$\therefore a+1=3$或$a+1=-3$，

解得：$a=-4$或$a=2$.

故答案为：$3$，$5$，$-4$或$2$；

$(2)$当$a \gt 2$时，$|a+4|+a-2|=a+4+a-2=2a+2 \gt 6$，

当$-4\leqslant a\leqslant 2$时，$|a+4|+a-2|=a+4-a+2=6$，

当$a \lt -4$时，$|a+4|+a-2|=-a-4-a+2=-2 \lt 6$，

$\therefore$使得$|a+4|+|a-2|=6$的整数有$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，

$\therefore -4+\left(-3\right)+\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1+2=-7$.

$(3)$由题意，分以下四种情况：

①当$a\leqslant -3$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=-a-3-a+1-a+4=-3a+2\geqslant 11$，

②当$-3 \lt a\leqslant 1$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3-a+1-a+4=-a+8$，则$7\leqslant 8-a \lt 11$，

③当$1 \lt a\leqslant 4$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3+a-1-a+4=a+6$，则$7 \lt 6+a\leqslant 10$，

④当$a \gt 4$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3+a-1+a-4=3a-2 \gt 10$，

$\therefore$当$a=1$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=|1+3|+|1-1|+|1-4|=7$，

即当$a=1$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|$有最小值，最小值是$7$.

$(1)\because |1-4|=3$，

$\therefore 4$和$1$的两点之间的距离是$3$；

$\because |-3-2|=5$，

$\therefore -3$和$2$两点之间的距离是$5$；

$\because |a-\left(-1\right)|=3$，

$\therefore a+1=3$或$a+1=-3$，

解得：$a=-4$或$a=2$.

故答案为：$3$，$5$，$-4$或$2$；

$(2)$当$a \gt 2$时，$|a+4|+a-2|=a+4+a-2=2a+2 \gt 6$，

当$-4\leqslant a\leqslant 2$时，$|a+4|+a-2|=a+4-a+2=6$，

当$a \lt -4$时，$|a+4|+a-2|=-a-4-a+2=-2 \lt 6$，

$\therefore$使得$|a+4|+|a-2|=6$的整数有$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，

$\therefore -4+\left(-3\right)+\left(-2\right)+\left(-1\right)+0+1+2=-7$.

$(3)$由题意，分以下四种情况：

①当$a\leqslant -3$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=-a-3-a+1-a+4=-3a+2\geqslant 11$，

②当$-3 \lt a\leqslant 1$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3-a+1-a+4=-a+8$，则$7\leqslant 8-a \lt 11$，

③当$1 \lt a\leqslant 4$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3+a-1-a+4=a+6$，则$7 \lt 6+a\leqslant 10$，

④当$a \gt 4$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=a+3+a-1+a-4=3a-2 \gt 10$，

$\therefore$当$a=1$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|=|1+3|+|1-1|+|1-4|=7$，

即当$a=1$时，$|a+3|+|a-1|+|a-4|$有最小值，最小值是$7$.