结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:

$(1)$数轴上表示$4$和$1$的两点之间的距离是______；表示$-3$和$2$两点之间的距离是______；一般地,数轴上表示数$m$和数$n$的两点之间的距离等于$|m-n|$.如果表示数$a$和$-1$的两点之间的距离是$3$,那么$a= \_\_\_\_\_\_.$
$(2)$当$|a+4|+|a-2|=6$时,所有可能整数$a$的和为多少?
$(3)|a+3|+|a-1|+|a-4|$有最小值吗?如果有,请求出它的最小值,并指明此时$a$的取值.