$\because a$的倒数是本身，
$\therefore a=\pm 1$，
$\because b$是最大的负整数，
$\therefore b=-1$，
$\because c$是绝对值最小的有理数，
$\therefore c=0$，
当$a=1$时，$a+b+c=1+\left(-1\right)+0=0$；
当$a=-1$时，$a+b+c=-1+\left(-1\right)+0=-2$；
故答案为：$0$或$-2$.

$\because a$的倒数是本身，
$\therefore a=\pm 1$，
$\because b$是最大的负整数，
$\therefore b=-1$，
$\because c$是绝对值最小的有理数，
$\therefore c=0$，
当$a=1$时，$a+b+c=1+\left(-1\right)+0=0$；
当$a=-1$时，$a+b+c=-1+\left(-1\right)+0=-2$；
故答案为：$0$或$-2$.