如图,在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,$\triangle ABC$的边$BC$在$x$轴上,$A$,$C$两点的坐标分别为$A\left(0,m\right)$,$C\left(n,0\right)$,$B\left(-5,0\right)$,且$\left(n-3\right)^{2}+\sqrt{3m-12}=0$.一动点$P$从点$B$出发,以每秒$2$单位长度的速度沿射线$BO$匀速运动,设点$P$运动的时间为$ts$.

$\left(1\right)$求$A$,$C$两点的坐标；
$\left(2\right)$连接$PA$,若$\triangle PAB$为等腰三角形,求点$P$的坐标；
$\left(3\right)$当点$P$在线段$BO$上运动时,在$y$轴上是否存在点$Q$,使$\triangle POQ$与$\triangle AOC$全等?若存在,请求出$t$的值并直接写出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.