$\left(1\right)\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$BA=5$，
$\therefore BC=\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}=12$；
故答案为：$12$；
$(2)$如图$1$所示，过点$B$作$BD\bot AC$于点$D$，

$\because {S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•BC=\frac{1}{2}AC•BD$，
$\therefore BD=\frac{AB•BC}{AC}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$，
$\therefore$斜边$AC$上的高线长为$\frac{60}{13}$；
$(3)$①$\because$点$P$从点$C$出发，以每秒$3$个单位长度的速度沿折线$C-A-B$运动，
$\therefore AP=3t-AC=3t-13$，
$\therefore \frac{AC}{3}≤t≤\frac{AC+AB}{3}$，即$\frac{13}{3}≤t≤\frac{13+5}{3}$，
$\therefore \frac{13}{3}≤t≤6$；
故答案为：$3t-13$，$\frac{13}{3}≤t≤6$；
②点$P$在$\angle BCA$的角平分线上时，过点$P$作$PE\bot AC$于$E$，

$\because CP$平分$\angle BCA$，$\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore PB=PE$，
又$\because PC=PC$，
$\therefore Rt\triangle BCP$≌$Rt\triangle ECP\left(HL\right)$，
$\therefore EC=BC=12$，则$AE=AC-CE=13-12=1$，
由（2）知$AP=3t-13$，
$\therefore BP=AB-AP=5-\left(3t-13\right)=18-3t$，
$\therefore PE=18-3t$，
在$Rt\triangle AEP$中，$AP^{2}=AE^{2}+EP^{2}$，即$\left(3t-13\right)^{2}=1^{2}+\left(18-3t\right)^{2}$，
解得$t=\frac{26}{5}$，
$\therefore$点$P$在$\angle BAC$的角平分线上时，$t=\frac{26}{5}$；
故答案为：$\frac{26}{5}$；
$(4)\triangle PAB$是以$AB$为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当$AB=AP=5$时，

则$CP=AC-AP=13-5=8$，
$\therefore t=\frac{CP}{3}=\frac{8}{3}$；
当$AB=BP=5$时，过点$B$作$BD\bot AC$于点$D$，

由（2）知$BD=\frac{60}{13}$，
$\therefore AD=\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{(\frac{60}{13})}^{2}}=\frac{25}{13}$，
$\because AB=BP$，$BD\bot AC$，
$\therefore AP=2AD=\frac{50}{13}$，
$\therefore CP=AC-AP=13-\frac{50}{13}=\frac{119}{13}$，
$\therefore t=\frac{CP}{3}=\frac{119}{39}$，
故$\triangle PAB$是以$AB$为一腰的等腰三角形时$t$的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{119}{39}$.

$\left(1\right)\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$BA=5$，
$\therefore BC=\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}=12$；
故答案为：$12$；
$(2)$如图$1$所示，过点$B$作$BD\bot AC$于点$D$，

$\because {S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•BC=\frac{1}{2}AC•BD$，
$\therefore BD=\frac{AB•BC}{AC}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$，
$\therefore$斜边$AC$上的高线长为$\frac{60}{13}$；
$(3)$①$\because$点$P$从点$C$出发，以每秒$3$个单位长度的速度沿折线$C-A-B$运动，
$\therefore AP=3t-AC=3t-13$，
$\therefore \frac{AC}{3}≤t≤\frac{AC+AB}{3}$，即$\frac{13}{3}≤t≤\frac{13+5}{3}$，
$\therefore \frac{13}{3}≤t≤6$；
故答案为：$3t-13$，$\frac{13}{3}≤t≤6$；
②点$P$在$\angle BCA$的角平分线上时，过点$P$作$PE\bot AC$于$E$，

$\because CP$平分$\angle BCA$，$\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore PB=PE$，
又$\because PC=PC$，
$\therefore Rt\triangle BCP$≌$Rt\triangle ECP\left(HL\right)$，
$\therefore EC=BC=12$，则$AE=AC-CE=13-12=1$，
由（2）知$AP=3t-13$，
$\therefore BP=AB-AP=5-\left(3t-13\right)=18-3t$，
$\therefore PE=18-3t$，
在$Rt\triangle AEP$中，$AP^{2}=AE^{2}+EP^{2}$，即$\left(3t-13\right)^{2}=1^{2}+\left(18-3t\right)^{2}$，
解得$t=\frac{26}{5}$，
$\therefore$点$P$在$\angle BAC$的角平分线上时，$t=\frac{26}{5}$；
故答案为：$\frac{26}{5}$；
$(4)\triangle PAB$是以$AB$为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当$AB=AP=5$时，

则$CP=AC-AP=13-5=8$，
$\therefore t=\frac{CP}{3}=\frac{8}{3}$；
当$AB=BP=5$时，过点$B$作$BD\bot AC$于点$D$，

由（2）知$BD=\frac{60}{13}$，
$\therefore AD=\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{(\frac{60}{13})}^{2}}=\frac{25}{13}$，
$\because AB=BP$，$BD\bot AC$，
$\therefore AP=2AD=\frac{50}{13}$，
$\therefore CP=AC-AP=13-\frac{50}{13}=\frac{119}{13}$，
$\therefore t=\frac{CP}{3}=\frac{119}{39}$，
故$\triangle PAB$是以$AB$为一腰的等腰三角形时$t$的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{119}{39}$.