八年级数学解答题全等三角形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理｜试题答案与解析

八年级数学解答题一般

题目

（1）如图 $1$ ,锐角 $\triangle ABC$ 中分别以 $AB$ 、 $AC$ 为边向外作等腰 $\triangle ABE$ 和等腰 $\triangle ACD$ ,使 $AE=AB$ , $AD=AC$ , $\angle BAE=\angle CAD$ ,连接 $BD$ 、 $CE$ ,试猜想 $BD$ 与 $CE$ 的大小关系,并说明理由.

（2）如图 $2$ ,四边形 $ABCD$ 中, $AB=7cm$ , $BC=3cm$ , $\angle ABC=\angle ACD=\angle ADC=45^{\circ}$ ,求 $BD$ 的长.

甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和 $\triangle ABD$ 全等的三角形,将 $BD$ 进行转化再计算,请你准确的叙述辅助线的作法,再计算.

（3）如图 $3$ ,四边形 $ABCD$ 中, $AB=BC$ , $\angle ABC=60^{\circ}$ , $\angle ADC=30^{\circ}$ , $AD=6$ , $BD=10$ ,求 $CD$ 的长度.

知识点：全等三角形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理章节：第13章三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

$\left(1\right)BD=CE$ .

理由是： $\because \angle BAE=\angle CAD$ ，

$\therefore \angle BAE+\angle BAC=\angle CAD+\angle BAC$ ，

即 $\angle EAC=\angle BAD$ ，

在 $\triangle EAC$ 和 $\triangle BAD$ 中，

$\left\{\begin{array}{l}AE=AB\\\angle EAC=\angle BAD\\AC=AD\end{array}\right.$ ，

$\therefore \triangle EAC$ ≌ $\triangle BAD\left(SAS\right)$ ，

$\therefore BD=CE$ ；

（2）如图 $2$ ，在 $\triangle ABC$ 的外部，以 $A$ 为直角顶点作等腰直角 $\triangle BAE$ ，使 $\angle BAE=90^{\circ}$ ， $AE=AB$ ，连接 $EA$ 、 $EB$ 、 $EC$ .

$\because \angle ACD=\angle ADC=45^{\circ}$ ，

$\therefore AC=AD$ ， $\angle CAD=90^{\circ}$ ，

$\therefore \angle BAE+\angle BAC=\angle CAD+\angle BAC$ ，

即 $\angle EAC=\angle BAD$ ，

在 $\triangle EAC$ 和 $\triangle BAD$ 中，

$\left\{\begin{array}{l}AE=AB\\\angle EAC=\angle BAD\\AC=AD\end{array}\right.$ ，

$\therefore \triangle EAC$ ≌ $\triangle BAD\left(SAS\right)$ ，

$\therefore BD=CE$ .

$\because AE=AB=7$ ，

$\therefore BE=\sqrt {AE^{2}+AB^{2}}=\sqrt {49+49}=7\sqrt {2}$ ， $\angle ABE=\angle AEB=45^{\circ}$ ，

又 $\because \angle ABC=45^{\circ}$ ，

$\therefore \angle ABC+\angle ABE=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$ ，

$\therefore EC=\sqrt {BE^{2}+BC^{2}}=\sqrt {98+9}=\sqrt {107}$ ，

$\therefore BD=CE=\sqrt {107}$ ，

$\left(3\right)\because AB=BC$ ， $\angle ABC=60^{\circ}$ ，

$\therefore \triangle ABC$ 是等边三角形，

如图 $3$ ，把 $\triangle ACD$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $\triangle BCE$ ，连接 $DE$ ，

则 $BE=AD=6$ ， $\triangle CDE$ 是等边三角形，

$\therefore DE=CD$ ， $\angle CED=60^{\circ}$ ，

$\because \angle ADC=30^{\circ}$ ，

$\therefore \angle BED=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$ ，

在 $Rt\triangle BDE$ 中， $DE=\sqrt {BD^{2}-BE^{2}}=\sqrt {100-36}=8$ ，

$\therefore CD=DE=8$ .

解析

$\left(1\right)BD=CE$ .

理由是： $\because \angle BAE=\angle CAD$ ，

$\therefore \angle BAE+\angle BAC=\angle CAD+\angle BAC$ ，

即 $\angle EAC=\angle BAD$ ，

在 $\triangle EAC$ 和 $\triangle BAD$ 中，

$\left\{\begin{array}{l}AE=AB\\\angle EAC=\angle BAD\\AC=AD\end{array}\right.$ ，

$\therefore \triangle EAC$ ≌ $\triangle BAD\left(SAS\right)$ ，

$\therefore BD=CE$ ；

（2）如图 $2$ ，在 $\triangle ABC$ 的外部，以 $A$ 为直角顶点作等腰直角 $\triangle BAE$ ，使 $\angle BAE=90^{\circ}$ ， $AE=AB$ ，连接 $EA$ 、 $EB$ 、 $EC$ .

$\because \angle ACD=\angle ADC=45^{\circ}$ ，

$\therefore AC=AD$ ， $\angle CAD=90^{\circ}$ ，

$\therefore \angle BAE+\angle BAC=\angle CAD+\angle BAC$ ，

即 $\angle EAC=\angle BAD$ ，

在 $\triangle EAC$ 和 $\triangle BAD$ 中，

$\left\{\begin{array}{l}AE=AB\\\angle EAC=\angle BAD\\AC=AD\end{array}\right.$ ，

$\therefore \triangle EAC$ ≌ $\triangle BAD\left(SAS\right)$ ，

$\therefore BD=CE$ .

$\because AE=AB=7$ ，

$\therefore BE=\sqrt {AE^{2}+AB^{2}}=\sqrt {49+49}=7\sqrt {2}$ ， $\angle ABE=\angle AEB=45^{\circ}$ ，

又 $\because \angle ABC=45^{\circ}$ ，

$\therefore \angle ABC+\angle ABE=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$ ，

$\therefore EC=\sqrt {BE^{2}+BC^{2}}=\sqrt {98+9}=\sqrt {107}$ ，

$\therefore BD=CE=\sqrt {107}$ ，

$\left(3\right)\because AB=BC$ ， $\angle ABC=60^{\circ}$ ，

$\therefore \triangle ABC$ 是等边三角形，

如图 $3$ ，把 $\triangle ACD$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $\triangle BCE$ ，连接 $DE$ ，

则 $BE=AD=6$ ， $\triangle CDE$ 是等边三角形，

$\therefore DE=CD$ ， $\angle CED=60^{\circ}$ ，

$\because \angle ADC=30^{\circ}$ ，

$\therefore \angle BED=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$ ，

在 $Rt\triangle BDE$ 中， $DE=\sqrt {BD^{2}-BE^{2}}=\sqrt {100-36}=8$ ，

$\therefore CD=DE=8$ .

AI 自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →