（1）由题知，
数轴上表示$-3$和$2$两点之间的距离是：$2-\left(-3\right)=5$.
由表示数$a$和$-1$的两点之间的距离是$3$得，
$-1-3=-4$，$-1+3=2$，
所以$a=-4$或$2$.
如图所示，

当表示数$x$的点在点$A$和点$B$之间（包括端点）时，$|x+2|+|x-5|=7$，
所以符合条件的整数$x$的和是：$-2+\left(-1\right)+0+1+2+3+4+5=12$.
故答案为：$5$，$-4$或$2$，$12$.
$(2)$由$|a-3|=4$得，
$a=-1$或$7$.
由$|b+2|=3$得，
$b=-5$或$1$.
又因为$A$、$B$两点间的距离要最大，
则当$a=7$，$b=-5$时，
$A$，$B$两点间的距离最大，为：$7-\left(-5\right)=12$.
故答案为：$12$.
$(3)$因为代数式$|a+3|+|a-1|+|a-4|$的值可看成数轴上表示$a$的点与到表示$-3$，$1$，$4$三个点的距离之和，如图所示，

当表示数$a$的点在点$P$处时，此点到$M$，$P$，$N$三点的距离之和最小，且最小值为$4-\left(-3\right)=7$.
故答案为：$7$.
$(4)$由所给数轴可知，
$a \lt 0$，$b \lt 0$，$c \gt 0$，
则$abc \gt 0$，
所以原式$=\frac{-a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{c}+\frac{abc}{abc}$
$=-1+\left(-1\right)+1+1$
$=0$.
故答案为：$0$.

（1）由题知，
数轴上表示$-3$和$2$两点之间的距离是：$2-\left(-3\right)=5$.
由表示数$a$和$-1$的两点之间的距离是$3$得，
$-1-3=-4$，$-1+3=2$，
所以$a=-4$或$2$.
如图所示，

当表示数$x$的点在点$A$和点$B$之间（包括端点）时，$|x+2|+|x-5|=7$，
所以符合条件的整数$x$的和是：$-2+\left(-1\right)+0+1+2+3+4+5=12$.
故答案为：$5$，$-4$或$2$，$12$.
$(2)$由$|a-3|=4$得，
$a=-1$或$7$.
由$|b+2|=3$得，
$b=-5$或$1$.
又因为$A$、$B$两点间的距离要最大，
则当$a=7$，$b=-5$时，
$A$，$B$两点间的距离最大，为：$7-\left(-5\right)=12$.
故答案为：$12$.
$(3)$因为代数式$|a+3|+|a-1|+|a-4|$的值可看成数轴上表示$a$的点与到表示$-3$，$1$，$4$三个点的距离之和，如图所示，

当表示数$a$的点在点$P$处时，此点到$M$，$P$，$N$三点的距离之和最小，且最小值为$4-\left(-3\right)=7$.
故答案为：$7$.
$(4)$由所给数轴可知，
$a \lt 0$，$b \lt 0$，$c \gt 0$，
则$abc \gt 0$，
所以原式$=\frac{-a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{c}+\frac{abc}{abc}$
$=-1+\left(-1\right)+1+1$
$=0$.
故答案为：$0$.