D

由于$a$是最小的自然数，
所以$a=0$，
$b$是最小的正整数，
所以$b=1$，
$c$的绝对值为$3$，即丨$c$丨$=3$，
所以$c=\pm 3$；
当$a=0$，$b=1$，$c=3$时，
$a+b+c$
$=0+1+3$
$=4$；
当$a=0$，$b=1$，$c=-3$时，
$a+b+c$
$=0+1+\left(-3\right)$
$=-\left(3-1\right)$
$=-2$；
综上，$a+b+c$的值为$4$或$-2$.
故选：$D$.