$\because BE$平分$\angle ABC$交$AC$于点$E$，
$\therefore \angle ABG=\angle CBG$，
$\because AF\bot BE$，
$\therefore \angle BAC=\angle AHB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABG+\angle AEG=\angle CBG+\angle BGD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BGD=\angle AEB$，
$\because \angle AGE=\angle BGD$，
$\therefore \angle AGE=\angle AEG$，故①正确；

如图，连接$FG$，
$\because \angle ABH=\angle FBH$，$\angle AHB=\angle FHB$，$BH=BH$，
$\therefore \triangle ABH$≌$\triangle FBH\left(AAS\right)$，
$\therefore AH=HF$，
$\therefore BH$垂直平分$AF$，
$\therefore AG=FG$，
$\therefore AE=FG$，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore \angle GDF=90^{\circ}$，
$\therefore FG \gt DF$，
$\therefore AE \gt DF$，故②错误；
$\because BH$垂直平分$AF$，
$\therefore AB=BF$，
$\therefore \triangle ABG$≌$\triangle FBG\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle BFG=\angle BAD=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle DGF$是等腰直角三角形，
$\therefore DF=DG$，
$\because BD=CD$，
$\therefore AB=BF=BD+DF=CD+DG$，故③正确；
$\because \angle AGE=\angle AEG$，$AF\bot EG$，
$\therefore GH=EH$，
$\because AH=FH$，$\angle AHE=\angle FHG$，
$\therefore \triangle AEH$≌$\triangle FGH\left(SAS\right)$，
$\therefore S_{\triangle AEG}=S_{\triangle AFG}$，
$\because AD=BD=CD$，$DG=DF$，
$\therefore AG=CF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAD=\angle C=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABG$≌$\triangle CAF\left(SAS\right)$，
$\therefore S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ACF}$，
$\because \triangle ABG$≌$\triangle FBG$，
$\therefore S_{\triangle BGF}=S_{\triangle ACF}$，
$\therefore S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ABG}+S_{\triangle BFG}+S_{\triangle AGF}=2S_{\triangle AFC}+S_{\triangle AGE}$.故④正确；
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：①③④.

$\because BE$平分$\angle ABC$交$AC$于点$E$，
$\therefore \angle ABG=\angle CBG$，
$\because AF\bot BE$，
$\therefore \angle BAC=\angle AHB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABG+\angle AEG=\angle CBG+\angle BGD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BGD=\angle AEB$，
$\because \angle AGE=\angle BGD$，
$\therefore \angle AGE=\angle AEG$，故①正确；

如图，连接$FG$，
$\because \angle ABH=\angle FBH$，$\angle AHB=\angle FHB$，$BH=BH$，
$\therefore \triangle ABH$≌$\triangle FBH\left(AAS\right)$，
$\therefore AH=HF$，
$\therefore BH$垂直平分$AF$，
$\therefore AG=FG$，
$\therefore AE=FG$，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore \angle GDF=90^{\circ}$，
$\therefore FG \gt DF$，
$\therefore AE \gt DF$，故②错误；
$\because BH$垂直平分$AF$，
$\therefore AB=BF$，
$\therefore \triangle ABG$≌$\triangle FBG\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle BFG=\angle BAD=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle DGF$是等腰直角三角形，
$\therefore DF=DG$，
$\because BD=CD$，
$\therefore AB=BF=BD+DF=CD+DG$，故③正确；
$\because \angle AGE=\angle AEG$，$AF\bot EG$，
$\therefore GH=EH$，
$\because AH=FH$，$\angle AHE=\angle FHG$，
$\therefore \triangle AEH$≌$\triangle FGH\left(SAS\right)$，
$\therefore S_{\triangle AEG}=S_{\triangle AFG}$，
$\because AD=BD=CD$，$DG=DF$，
$\therefore AG=CF$，
$\because AB=AC$，$\angle BAD=\angle C=45^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABG$≌$\triangle CAF\left(SAS\right)$，
$\therefore S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ACF}$，
$\because \triangle ABG$≌$\triangle FBG$，
$\therefore S_{\triangle BGF}=S_{\triangle ACF}$，
$\therefore S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ABG}+S_{\triangle BFG}+S_{\triangle AGF}=2S_{\triangle AFC}+S_{\triangle AGE}$.故④正确；
综上所述：正确的是①③④.
故答案为：①③④.