在等腰$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BD$为腰$AC$上的高，$\angle ABD=40^{\circ}$，
当$BD$在$\triangle ABC$内部时，如图$1$，
$\because BD$为高，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-50^{\circ})=65^{\circ}$；
当$BD$在$\triangle ABC$外部时，如图$2$，
$\because BD$为高，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
而$\angle BAD=\angle ABC+\angle ACB$，
$\therefore \angle ACB=\frac{1}{2}\angle BAD=25^{\circ}$，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$.
故答案为：$65^{\circ}$或$25^{\circ}$.

在等腰$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BD$为腰$AC$上的高，$\angle ABD=40^{\circ}$，
当$BD$在$\triangle ABC$内部时，如图$1$，
$\because BD$为高，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-50^{\circ})=65^{\circ}$；
当$BD$在$\triangle ABC$外部时，如图$2$，
$\because BD$为高，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，
而$\angle BAD=\angle ABC+\angle ACB$，
$\therefore \angle ACB=\frac{1}{2}\angle BAD=25^{\circ}$，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$.
故答案为：$65^{\circ}$或$25^{\circ}$.