$(1)$证明：过点$P$作$PC\bot OA$，垂足为$C$，过点$P$作$PD\bot MN$，垂足为$D$，过点$P$作$PE\bot OB$，垂足为$E$，

$\because MP$平分$\angle AMN$，$PC\bot OA$，$PD\bot MN$，
$\therefore PC=PD$，
$\because NP$平分$\angle MNB$，$PD\bot MN$，$PE\bot OB$，
$\therefore PD=PE$，
$\therefore PC=PE$，
$\therefore OP$平分$\angle AOB$；
$(2)\because \triangle PMN$的面积是$16$，$MN=8$，
$\therefore \frac{1}{2}MN\cdot PD=16$，
$\therefore \frac{1}{2}\times 8\cdot PD=16$，
$\therefore PD=4$，
$\therefore PD=PC=PE=4$，
$\because \triangle OMN$的面积是$24$，
$\therefore$四边形$MONP$的面积$=\triangle PMN$的面积$+\triangle OMN$的面积$=16+24=40$，
$\therefore \triangle POM$的面积$+\triangle PON$的面积$=40$，
$\therefore \frac{1}{2}OM\cdot PC+\frac{1}{2}ON\cdot PE=40$，
$\therefore \frac{1}{2}OM\cdot 4+\frac{1}{2}ON\cdot 4=40$，
$\therefore OM+ON=20$，
$\therefore$线段$OM$与$ON$的长度之和为$20$.

$(1)$证明：过点$P$作$PC\bot OA$，垂足为$C$，过点$P$作$PD\bot MN$，垂足为$D$，过点$P$作$PE\bot OB$，垂足为$E$，

$\because MP$平分$\angle AMN$，$PC\bot OA$，$PD\bot MN$，
$\therefore PC=PD$，
$\because NP$平分$\angle MNB$，$PD\bot MN$，$PE\bot OB$，
$\therefore PD=PE$，
$\therefore PC=PE$，
$\therefore OP$平分$\angle AOB$；
$(2)\because \triangle PMN$的面积是$16$，$MN=8$，
$\therefore \frac{1}{2}MN\cdot PD=16$，
$\therefore \frac{1}{2}\times 8\cdot PD=16$，
$\therefore PD=4$，
$\therefore PD=PC=PE=4$，
$\because \triangle OMN$的面积是$24$，
$\therefore$四边形$MONP$的面积$=\triangle PMN$的面积$+\triangle OMN$的面积$=16+24=40$，
$\therefore \triangle POM$的面积$+\triangle PON$的面积$=40$，
$\therefore \frac{1}{2}OM\cdot PC+\frac{1}{2}ON\cdot PE=40$，
$\therefore \frac{1}{2}OM\cdot 4+\frac{1}{2}ON\cdot 4=40$，
$\therefore OM+ON=20$，
$\therefore$线段$OM$与$ON$的长度之和为$20$.