$(1)$证明：设$BD=3x cm$，$AD=4x cm$，$CD=2x cm$，则$BC=5x cm$，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，
$\therefore AB=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}}=5x(cm)$，
$\therefore AB=BC$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形；
$(2)$$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}•5x•4x=40cm^{2}$，而$x \gt 0$，
$\therefore x=2$，
则$BD=6cm$，$AD=8cm$，$CD=4cm$，$AB=10cm$，
由题意得：$CM=BN=2t cm$
若$\triangle DMN$的边与$AC$平行，存在以下两种情况：
①当$MN$∥$AC$时，如图$2$，$\angle BMN=\angle C$，$\angle BNM=\angle BAC$，

$\because AB=BC$，
$\therefore \angle C=\angle BAC$，
$\therefore \angle BMN=\angle BNM$，
$\therefore BM=BN$，
$\therefore 10-2t=2t$，
$\therefore t=2.5$；
②当$DN$∥$AC$时，如图$3$，同理得：$BN=BD$，

$\therefore 2t=6$，
$\therefore t=3$，
$\therefore$若$\triangle DMN$的边与$AC$平行时，$t$值为$2.5$或$3$；
$(3)$$\triangle MDE$能成为等腰三角形；
$\because EP$是$AD$的垂直平分线，$AD=8cm$，
$\therefore AO=OD=4cm$，$EP\bot AD$，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore EP$∥$BC$，
$\therefore AE=BE$，
$\therefore OE$是$\triangle ADB$的中位线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}BD=3cm$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{O{E}^{2}+O{D}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5(cm)$，
①当$DE=DM=5cm$时，$\triangle MDE$是等腰三角形，

$\therefore CM=DM+CD=5+4=9\left(cm\right)$，
$\therefore t=\frac{9}{2}$；
②当$DE=BE=5cm$时，如图$5$，$\triangle MDE$是等腰三角形，此时$M$与$B$重合，

$\therefore t=5$；
③当$EM=DM$时，$\triangle MDE$是等腰三角形，
如图$6$，过点$M$作$MF\bot DE$于$F$，交$AD$于$Q$，连接$EQ$，

$\therefore EQ=DQ$，
设$OQ=a cm$，则$EQ=DQ=\left(4-a\right)cm$，
在$Rt\triangle OEQ$中，由勾股定理得：$OE^{2}+OQ^{2}=EQ^{2}$，
$\therefore 3^{2}+a^{2}=\left(4-a\right)^{2}$，
$\therefore a=\frac{7}{8}$，
$\therefore DQ=4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}(cm)$，
由勾股定理得：$FQ=\sqrt{{(\frac{25}{8})}^{2}-{(\frac{5}{2})}^{2}}=\frac{15}{8}(cm)$，
设$DM=b cm$，$FM=n cm$，
$\because S_{△DMQ}=\frac{1}{2}•DM•DQ=\frac{1}{2}•MQ•DF$，
$\therefore DM\cdot DQ=MQ\cdot DF$，
$\therefore \frac{25}{8}b=\frac{5}{2}×(n+\frac{15}{8})$，
$\therefore n=\frac{10b-15}{8}$，
在$Rt\triangle DMF$中，${b}^{2}={n}^{2}+{(\frac{5}{2})}^{2}$，
$\therefore {b}^{2}={(\frac{10b-15}{8})}^{2}+\frac{25}{4}$，
$\therefore b_{1}=b_{2}=\frac{25}{6}$，
$\therefore CM=CD+DM=4+\frac{25}{6}=\frac{49}{6}$，
$\therefore t=\frac{49}{6}÷2=\frac{49}{12}$，
综上，$t$的值是$\frac{9}{2}$或$5$或$\frac{49}{12}$.

$(1)$证明：设$BD=3x cm$，$AD=4x cm$，$CD=2x cm$，则$BC=5x cm$，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore \angle ADB=90^{\circ}$，
$\therefore AB=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}}=5x(cm)$，
$\therefore AB=BC$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形；
$(2)$$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}•5x•4x=40cm^{2}$，而$x \gt 0$，
$\therefore x=2$，
则$BD=6cm$，$AD=8cm$，$CD=4cm$，$AB=10cm$，
由题意得：$CM=BN=2t cm$
若$\triangle DMN$的边与$AC$平行，存在以下两种情况：
①当$MN$∥$AC$时，如图$2$，$\angle BMN=\angle C$，$\angle BNM=\angle BAC$，

$\because AB=BC$，
$\therefore \angle C=\angle BAC$，
$\therefore \angle BMN=\angle BNM$，
$\therefore BM=BN$，
$\therefore 10-2t=2t$，
$\therefore t=2.5$；
②当$DN$∥$AC$时，如图$3$，同理得：$BN=BD$，

$\therefore 2t=6$，
$\therefore t=3$，
$\therefore$若$\triangle DMN$的边与$AC$平行时，$t$值为$2.5$或$3$；
$(3)$$\triangle MDE$能成为等腰三角形；
$\because EP$是$AD$的垂直平分线，$AD=8cm$，
$\therefore AO=OD=4cm$，$EP\bot AD$，
$\because AD\bot BC$，
$\therefore EP$∥$BC$，
$\therefore AE=BE$，
$\therefore OE$是$\triangle ADB$的中位线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}BD=3cm$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{O{E}^{2}+O{D}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5(cm)$，
①当$DE=DM=5cm$时，$\triangle MDE$是等腰三角形，

$\therefore CM=DM+CD=5+4=9\left(cm\right)$，
$\therefore t=\frac{9}{2}$；
②当$DE=BE=5cm$时，如图$5$，$\triangle MDE$是等腰三角形，此时$M$与$B$重合，

$\therefore t=5$；
③当$EM=DM$时，$\triangle MDE$是等腰三角形，
如图$6$，过点$M$作$MF\bot DE$于$F$，交$AD$于$Q$，连接$EQ$，

$\therefore EQ=DQ$，
设$OQ=a cm$，则$EQ=DQ=\left(4-a\right)cm$，
在$Rt\triangle OEQ$中，由勾股定理得：$OE^{2}+OQ^{2}=EQ^{2}$，
$\therefore 3^{2}+a^{2}=\left(4-a\right)^{2}$，
$\therefore a=\frac{7}{8}$，
$\therefore DQ=4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}(cm)$，
由勾股定理得：$FQ=\sqrt{{(\frac{25}{8})}^{2}-{(\frac{5}{2})}^{2}}=\frac{15}{8}(cm)$，
设$DM=b cm$，$FM=n cm$，
$\because S_{△DMQ}=\frac{1}{2}•DM•DQ=\frac{1}{2}•MQ•DF$，
$\therefore DM\cdot DQ=MQ\cdot DF$，
$\therefore \frac{25}{8}b=\frac{5}{2}×(n+\frac{15}{8})$，
$\therefore n=\frac{10b-15}{8}$，
在$Rt\triangle DMF$中，${b}^{2}={n}^{2}+{(\frac{5}{2})}^{2}$，
$\therefore {b}^{2}={(\frac{10b-15}{8})}^{2}+\frac{25}{4}$，
$\therefore b_{1}=b_{2}=\frac{25}{6}$，
$\therefore CM=CD+DM=4+\frac{25}{6}=\frac{49}{6}$，
$\therefore t=\frac{49}{6}÷2=\frac{49}{12}$，
综上，$t$的值是$\frac{9}{2}$或$5$或$\frac{49}{12}$.