如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AD\bot BC$于$D$,且$BD:AD:CD=3:4:2$.

$(1)$求证:$\triangle ABC$是等腰三角形；
$(2)$已知$S_{\triangle ABC}=40cm^{2}$,动点$M$从点$C$出发以$2cm/s$的速度沿线段$CB$向点$B$运动,同时动点$N$从点$B$出发以相同的速度沿线段$BA$向点$A$运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止.设运动时间为$t s$.若$\triangle DMN$的边与$AC$平行,求$t$的值；
$(3)$在（2）的条件下,设$AD$的垂直平分线交$AB$于点$E$,利用图$3$及备用图分析:在点$M$运动的过程中,$\triangle MDE$能否成为等腰三角形?若能,求出$t$的值；若不能,请说明理由.