C

$A$、$\because \left(-2\right)^{3}=-8$，$-2^{3}=-8$，
$\therefore \left(-2\right)^{3}$与$-2^{3}$相等，故本选项错误；
$B$、$\left(-3\right)^{2}=9$，$3^{2}=9$，
$\therefore \left(-3\right)^{2}$与$3^{2}$相等，故本选项错误；
$C$、$\left(-3\right)^{2}=9$，$-3^{2}=-9$，
$\therefore \left(-3\right)^{2}$与$-3^{2}$不相等，故本选项正确；
$D$、$|-2|^{3}=8|-2^{3}|=8$，
$\therefore |-2|^{3}$与$|-2^{3}|$相等，故本选项错误.
故选：$C$.