阅读材料:数轴是学习有理数的一种重要工具,任何有理数都可以用数轴上的点表示,这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.例如,两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示:如,在数轴上,有理数$3$与$1$对应的两点之间的距离为$|3-1|=2$；有理数$5$与$-2$对应的两点之间的距离为$|5-\left(-2\right)|=7$；有理数$-8$与$-5$对应的两点之间的距离为$|-8-\left(-5\right)|=3$；$\ldots$

如图,在数轴上有理数$a$对应的点为点$A$,有理数$b$对应的点为点$B$,$A$,$B$两点之间的距离表示为$|a-b|$或$|b-a|$,记为$|AB|=|a-b|=|b-a|$.
解决问题:
$(1)$数轴上有理数$-10$与$3$对应的两点之间的距离等于______；
$(2)$数轴上有理数$x$与$-5$对应的两点之间的距离用含$x$的式子表示为______；
$(3)$结合数轴找出所有符合条件的整数$x$,使得$|x+1|=3$,则$x=$______；
联系拓广:
$(4)$如图,点$M$,$N$,$P$是数轴上的三点,点$M$表示的数为$4$,点$N$表示的数为$-2$,动点$P$表示的数为$x$.

①若点$P$在点$M$,$N$两点之间,则$|PM|+|PN|=|x-4|+|x+2|=$______；
若$|PM|+|PM|=|x-4|+|x+2|=10$,则点$P$表示的数$x$为______；
②利用数轴分析,若$x$是整数,且满足$|x-4|+|x+2|=6$,则满足条件的所有$x$的值的和为______.