（1）由题意可知：表示$x$对数与$2$之间的距离可表示为：$|x-2|$，
若$|x-2|=5$，则可以表示为：$\left\{\begin{array}{l}{x-2=-5}\\{x-2=5}\end{array}\right.$，解得：$x$的取值为或$-3$.
故答案为：$|x-2|$，$7$或$-3$；
$(2)\because$由探究可知，当表示$x$的点在$1$与$-3$之间时，$|x-1|+|x+3|$取得最小值为$4$，即$1$与$-3$间的距离，
$\therefore |x+2|+|x-2|$的最小值为$2$与$-2$之间的距离，为$4$，此时$-2\leqslant x\leqslant 2$，即$x$到所有取值为：$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$.
故答案为：$4$，$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$；
$(3)$原式可以写为：$\left(|x-1|+|x-101|\right)+\left(|x-2|+|x-102|\right)+\cdots +\left(|x-50|+|x-52|\right)+|x-51|$，
由（2）可知：当$1\leqslant x\leqslant 101$时，$\left(|x-1|+|x-101|\right)$取得最小值，为$|101-1|=100$，
当$2\leqslant x\leqslant 100$时，$\left(|x-2|+|x-100|\right)$取得最小值，为$|100-2|=98$，
以此类推，当$50\leqslant x\leqslant 52$时，$\left(|x-50|+|x-52|\right)$取得最小值，为$|52-50|=2$，
$|x-51|$当且仅当$x=51$时取得最小值，为$0$；综上所述，当$x=51$时，原式取得最小值，
最小值$=0+2+\cdots +98+100=0+25\times \left(2+100\right)=2550$.
故答案为：$2550$.

（1）由题意可知：表示$x$对数与$2$之间的距离可表示为：$|x-2|$，
若$|x-2|=5$，则可以表示为：$\left\{\begin{array}{l}{x-2=-5}\\{x-2=5}\end{array}\right.$，解得：$x$的取值为或$-3$.
故答案为：$|x-2|$，$7$或$-3$；
$(2)\because$由探究可知，当表示$x$的点在$1$与$-3$之间时，$|x-1|+|x+3|$取得最小值为$4$，即$1$与$-3$间的距离，
$\therefore |x+2|+|x-2|$的最小值为$2$与$-2$之间的距离，为$4$，此时$-2\leqslant x\leqslant 2$，即$x$到所有取值为：$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$.
故答案为：$4$，$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$；
$(3)$原式可以写为：$\left(|x-1|+|x-101|\right)+\left(|x-2|+|x-102|\right)+\cdots +\left(|x-50|+|x-52|\right)+|x-51|$，
由（2）可知：当$1\leqslant x\leqslant 101$时，$\left(|x-1|+|x-101|\right)$取得最小值，为$|101-1|=100$，
当$2\leqslant x\leqslant 100$时，$\left(|x-2|+|x-100|\right)$取得最小值，为$|100-2|=98$，
以此类推，当$50\leqslant x\leqslant 52$时，$\left(|x-50|+|x-52|\right)$取得最小值，为$|52-50|=2$，
$|x-51|$当且仅当$x=51$时取得最小值，为$0$；综上所述，当$x=51$时，原式取得最小值，
最小值$=0+2+\cdots +98+100=0+25\times \left(2+100\right)=2550$.
故答案为：$2550$.