D

$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AB=10cm$，$AC=6cm$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8(cm)$，
$\because$动点$P$从点$B$出发，沿射线$BC$以$1cm/s$的速度运动，运动的时间为$t$秒，
$\therefore BP=t$，
①$PB=PA$时，如图所示：

$\because BP=t$，
$\therefore PC=8-t$，
$\therefore 6^{2}+\left(8-t\right)^{2}=t^{2}$，
解得：$t=\frac{25}{4}$；
②当$BA=PB$时，如图所示：

$\because AB=10cm$，
$\therefore BP=t=10$，
解得：$t=10$；
③当$AB=AP$时，如图所示：

$\because AC\bot BP$，
$\therefore BC=CP=8cm$，
$\therefore BP=BC+CP=16cm$，
$\therefore t=16$，
综上所述，当$t$分别为$\frac{25}{4}$、$10$、$16$时，$\triangle ABP$为等腰三角形.
故选：$D$.