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八年级数学填空题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB,BEBE平分∠ABC\angle ABC,交ACAC于点EE,过点CC作CD⊥BECD\bot BE于点DD.
(1)(1)若∠A=100∘\angle A=100^{\circ},则∠DCA=______∘.\angle DCA= \_\_\_\_\_\_^{\circ}.
(2)(2)若∠A\angle A的度数为α\alpha,则当点DD在△ABC\triangle ABC的内部时,α\alpha的取值范围为______.
知识点：展开图折叠成几何体、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、菱形的判定章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)∵∠A=100∘\left(1\right)\because \angle A=100^{\circ}，∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−100°)=40°\therefore ∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-100°)=40°，
∵BE\because BE平分∠ABC\angle ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=20°\therefore ∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=20°，
∵CD⊥BE\because CD\bot BE，
∴∠DCB=90∘−∠DBC=70∘\therefore \angle DCB=90^{\circ}-\angle DBC=70^{\circ}，
∴∠DCA=∠DCB−∠BCA=30∘\therefore \angle DCA=\angle DCB-\angle BCA=30^{\circ}.
故答案为：3030.
(2)(2)当∠BEC\angle BEC为锐角时，点DD在△ABC\triangle ABC的内部，如图：

∵∠A=α\because \angle A=\alpha，∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=12(180°−α)\therefore ∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}(180°-α)，
∵BE\because BE平分∠ABC\angle ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=45°−14α\therefore ∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=45°-\frac{1}{4}α，
∴∠BEC=180∘−∠EBC−∠ACB=180°−(45°−14α)−[12(180°−α)]=45°+34α\therefore \angle BEC=180^{\circ}-\angle EBC-\angle ACB=180°-(45°-\frac{1}{4}α)-[\frac{1}{2}(180°-α)]=45°+\frac{3}{4}α，
∵∠BEC\because \angle BEC为锐角，
∴0°＜45°+34α＜90°\therefore 0°＜45°+\frac{3}{4}α＜90°，
∴−60<α  <60\therefore -60 \lt \alpha\ \ \lt 60，
∵∠A>0\because \angle A \gt 0，
∴0<α  <60\therefore 0 \lt \alpha\ \ \lt 60.
故答案为：0<α  <600 \lt \alpha\ \ \lt 60.

解析

(1)∵∠A=100∘\left(1\right)\because \angle A=100^{\circ}，∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−100°)=40°\therefore ∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-100°)=40°，
∵BE\because BE平分∠ABC\angle ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=20°\therefore ∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=20°，
∵CD⊥BE\because CD\bot BE，
∴∠DCB=90∘−∠DBC=70∘\therefore \angle DCB=90^{\circ}-\angle DBC=70^{\circ}，
∴∠DCA=∠DCB−∠BCA=30∘\therefore \angle DCA=\angle DCB-\angle BCA=30^{\circ}.
故答案为：3030.
(2)(2)当∠BEC\angle BEC为锐角时，点DD在△ABC\triangle ABC的内部，如图：

∵∠A=α\because \angle A=\alpha，∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB，
∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=12(180°−α)\therefore ∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠A)=\frac{1}{2}(180°-α)，
∵BE\because BE平分∠ABC\angle ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=45°−14α\therefore ∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=45°-\frac{1}{4}α，
∴∠BEC=180∘−∠EBC−∠ACB=180°−(45°−14α)−[12(180°−α)]=45°+34α\therefore \angle BEC=180^{\circ}-\angle EBC-\angle ACB=180°-(45°-\frac{1}{4}α)-[\frac{1}{2}(180°-α)]=45°+\frac{3}{4}α，
∵∠BEC\because \angle BEC为锐角，
∴0°＜45°+34α＜90°\therefore 0°＜45°+\frac{3}{4}α＜90°，
∴−60<α  <60\therefore -60 \lt \alpha\ \ \lt 60，
∵∠A>0\because \angle A \gt 0，
∴0<α  <60\therefore 0 \lt \alpha\ \ \lt 60.
故答案为：0<α  <600 \lt \alpha\ \ \lt 60.

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