C

①在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB+\angle CAB=120^{\circ}$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，$CE$平分$\angle ACB$，
$\therefore ∠FCA=\frac{1}{2}∠ACB$，$∠FAC=\frac{1}{2}∠CAB$，
$\therefore ∠AFC=180°-(∠FCA+∠FAC)=180°-\frac{1}{2}(∠ACB+∠CAB)=120°$，故①正确；
②当$AD$是$\triangle ABC$的中线时，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$，
而$AD$平分$\angle BAC$，故②错误；
③如图，作$\angle AFC$的平分线交$AC$于点$G$，

由①得$\angle AFC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle AFG=\angle CFG=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AFE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AFG=\angle CFG=\angle AFE=60^{\circ}$，
$\because \angle EAF=\angle GAF$，$\angle DCF=\angle GCF$，$AF=AF$，$CF=CF$，
$\therefore \triangle AEF$≌$\triangle AGF\left(ASA\right),\triangle CDF$≌$\triangle CGF\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=AG$，$CD=CG$，
$\therefore CD+AE=CG+AG=AC$，故③正确；
④过$G$作$GM\bot FC$，$GH\bot AF$于点$G$，$H$，
由③知，$FG$为$\angle AFC$的角平分线，
$\therefore GH=GM$，
$\therefore S_{\triangle AGF}$：$S_{\triangle FGC}=AF:FC$，
$\because \triangle AEF$≌$\triangle AGF,\triangle CDF$≌$\triangle CGF$，
$\therefore S_{\triangle AEF}$：$S_{\triangle FDC}=AF:FC$，故④正确.
综上所述：正确的有①③④，共$3$个，
故选：$C$.