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八年级数学解答题一般
题目
如图11,在等腰Rt△ABCRt\triangle ABC中,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},AB=ACAB=AC,AD=AEAD=AE,
(1)(1)求证∠ABE=∠ACD\angle ABE=\angle ACD；
(2)(2)如图22,过点AA作AF⊥BEAF\bot BE于点GG,交BCBC于点FF,过FF作FP⊥CDFP\bot CD交BEBE于点PP,交CDCD于点HH.
①猜想∠AFB\angle AFB与∠HFC\angle HFC的数量关系,并证明；
②探究线段BPBP,FPFP,AFAF之间的数量关系,并证明.
知识点：全等三角形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行线分线段成比例章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：由题可得：
在△ACD\triangle ACD与△ABE\triangle ABE中，
{AD=AE∠BAC=∠BACAB=AC\left\{\begin{array}{l}AD=AE\\∠BAC=∠BAC\\ AB=AC\end{array}\right.，
∴△ACD\therefore \triangle ACD≌△ABE(SAS)\triangle ABE\left(SAS\right)，
∴∠ABE=∠ACD\therefore \angle ABE=\angle ACD；
(2)(2)①∠AFB=∠HFC\angle AFB=\angle HFC，
证明：∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB\therefore \angle ABC=\angle ACB，
由（1）可知：∠ABE=∠ACD\angle ABE=\angle ACD，
∴∠EBC=∠DCB\therefore \angle EBC=\angle DCB，
∵AF⊥BE\because AF\bot BE，FP⊥CDFP\bot CD，
∴∠FDB=∠FHC=90∘\therefore \angle FDB=\angle FHC=90^{\circ}，
∴∠AFB=∠HFC\therefore \angle AFB=\angle HFC；
②BP=AF+FPBP=AF+FP，
证明：如图，过点CC作CM⊥ACCM\bot AC交AFAF的延长线于点MM，延长FPFP交ACAC于点NN，

∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，
∴∠BAF+FAC=90∘\therefore \angle BAF+FAC=90^{\circ}，
∵AF⊥BE\because AF\bot BE，
∴∠AGB=90∘\therefore \angle AGB=90^{\circ}，
∴∠BAF+∠ABG=90∘\therefore \angle BAF+\angle ABG=90^{\circ}，
∴∠FAC=∠ABG\therefore \angle FAC=\angle ABG即∠MAC=∠ABE\angle MAC=\angle ABE，
∵∠ACM=∠BAE=90∘\because \angle ACM=\angle BAE=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△CAM(ASA)\triangle CAM\left(ASA\right)，
∴BE=AM\therefore BE=AM，∠M=∠BEA\angle M=\angle BEA，
∵∠BFA=∠MFC=∠NFC\because \angle BFA=\angle MFC=\angle NFC，FC=FCFC=FC，∠ACB=∠BCM=45∘\angle ACB=\angle BCM=45^{\circ}，
∴△NFC\therefore \triangle NFC≌△MFC(ASA)\triangle MFC\left(ASA\right)，
∴FM=FN\therefore FM=FN，∠M=∠FNC\angle M=\angle FNC，
∴∠FNC=∠BEA\therefore \angle FNC=\angle BEA，
∴PN=PE\therefore PN=PE，
∴BP=BE−PE\therefore BP=BE-PE
=AM−PE=AM-PE
=AF+FM−PE=AF+FM-PE
=AF+FN−PN=AF+FN-PN
=AF+FP=AF+FP.

解析

(1)(1)证明：由题可得：
在△ACD\triangle ACD与△ABE\triangle ABE中，
{AD=AE∠BAC=∠BACAB=AC\left\{\begin{array}{l}AD=AE\\∠BAC=∠BAC\\ AB=AC\end{array}\right.，
∴△ACD\therefore \triangle ACD≌△ABE(SAS)\triangle ABE\left(SAS\right)，
∴∠ABE=∠ACD\therefore \angle ABE=\angle ACD；
(2)(2)①∠AFB=∠HFC\angle AFB=\angle HFC，
证明：∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB\therefore \angle ABC=\angle ACB，
由（1）可知：∠ABE=∠ACD\angle ABE=\angle ACD，
∴∠EBC=∠DCB\therefore \angle EBC=\angle DCB，
∵AF⊥BE\because AF\bot BE，FP⊥CDFP\bot CD，
∴∠FDB=∠FHC=90∘\therefore \angle FDB=\angle FHC=90^{\circ}，
∴∠AFB=∠HFC\therefore \angle AFB=\angle HFC；
②BP=AF+FPBP=AF+FP，
证明：如图，过点CC作CM⊥ACCM\bot AC交AFAF的延长线于点MM，延长FPFP交ACAC于点NN，

∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，
∴∠BAF+FAC=90∘\therefore \angle BAF+FAC=90^{\circ}，
∵AF⊥BE\because AF\bot BE，
∴∠AGB=90∘\therefore \angle AGB=90^{\circ}，
∴∠BAF+∠ABG=90∘\therefore \angle BAF+\angle ABG=90^{\circ}，
∴∠FAC=∠ABG\therefore \angle FAC=\angle ABG即∠MAC=∠ABE\angle MAC=\angle ABE，
∵∠ACM=∠BAE=90∘\because \angle ACM=\angle BAE=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△CAM(ASA)\triangle CAM\left(ASA\right)，
∴BE=AM\therefore BE=AM，∠M=∠BEA\angle M=\angle BEA，
∵∠BFA=∠MFC=∠NFC\because \angle BFA=\angle MFC=\angle NFC，FC=FCFC=FC，∠ACB=∠BCM=45∘\angle ACB=\angle BCM=45^{\circ}，
∴△NFC\therefore \triangle NFC≌△MFC(ASA)\triangle MFC\left(ASA\right)，
∴FM=FN\therefore FM=FN，∠M=∠FNC\angle M=\angle FNC，
∴∠FNC=∠BEA\therefore \angle FNC=\angle BEA，
∴PN=PE\therefore PN=PE，
∴BP=BE−PE\therefore BP=BE-PE
=AM−PE=AM-PE
=AF+FM−PE=AF+FM-PE
=AF+FN−PN=AF+FN-PN
=AF+FP=AF+FP.

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