A

如图所示，构造胡不归模型：
过点$A$作$\angle CAN=30^{\circ}$，过点$P$作$PN\bot AN$，$MN_{1}\bot AN$交于$AC$于点$P_{1}$，
$\because \angle CAN=30^{\circ}$，$PN\bot AN$，
$\therefore PN=\frac{1}{2}PA$，
$\therefore PM+\frac{1}{2}AP=PM+PN$，
仅当点$M$，$P$，$N$三点共线，且$MN\bot AN$时，$PM+PN$的值最小，即为线段$MN_{1}$，
$PM+\frac{1}{2}AP$的值最小时为线段$MN_{1}$，
此时$\angle MAN=60^{\circ}$，$\angle AN_{1}M=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AMP_{1}=30^{\circ}$.
故选：$A$.