【问题初探】
$(1)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,请说明:$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$,为解决这一问题,同学们多用于下列两种思路:
①如图$2$,延长$BC$到$D$,过点$C$作射线$CE$∥$BA$,相当于把$\angle A$,$\angle B$都移到了顶点$C$的位置,利用图形特点获得$\angle A$,$\angle B$,$\angle ACB$的数量关系；
②如图$3$,过点$A$作直线$PQ$∥$BC$,相当于把$\angle B$,$\angle C$都移到了顶点$A$的位置,再利用图形特点获得$\angle BAC$,$\angle B$,$\angle C$的数量关系；
请你选择上述的一种思路,说明$\triangle ABC$的内角和为$180^{\circ}$.
【类比分析】
$(2)$如图$4$,已知$\triangle ABC$,过点$A$作直线$PQ$∥$BC,R$为线段$AB$上一点,连接$RQ$,$RC$,若$\angle 1=53^{\circ}$,$\angle 2=29^{\circ}$,$\angle 3=24^{\circ}$,求$\angle QRC$的度数.
【学以致用】
$(3)$如图$5,MN$∥$GT$,$∠MNE=\frac{1}{2}∠ENF$,$∠ETG=\frac{1}{3}∠ETF$,若$\angle MNE=\alpha$,$\angle E=\beta$,$\angle F=\gamma$,请你判断$\alpha$,$\beta$,$\gamma$三者之间的数量关系,并说明理由.