$\left(1\right)\because$在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore AD\bot BC$，$BD=CD$，
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B=\alpha$，
$\therefore \angle BAD=90^{\circ}-\alpha$，
$\because AE=AF$，
$\therefore \angle AEF=\angle AFE=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAD\right)=45^{\circ}+\frac{α}{2}$，
$\because \angle AEF=\angle B+\angle BCE$，
$\therefore \angle BCE=\angle AEF-\angle B=45^{\circ}+\frac{α}{2}-\alpha =45^{\circ}-\frac{α}{2}$；
$(2)AF$、$AB$、$AD$的数量关系是：$AF+AB=2AD$，证明如下：
过点$D$作$DH$∥$CE$交$AB$于$H$，如图所示：

则$\angle AEF=\angle AHD$，$\angle AFE=\angle ADH$，
$\because$在（1）的条件下，
$\therefore AE=AF$，
$\therefore \angle AEF=\angle AFE$，
$\therefore \angle AHD=\angle ADH$，
$\therefore AH=AD$，
$\therefore AH-AE=AD-AF$，
即$HE=DF$，
$\because BD=CD,DH$∥$CE$，
$\therefore DH$是$\triangle BCE$的中位线，
$\therefore BH=HE$，
$\therefore BH=HE=DF$，
$\therefore BE=2DF$，
$\therefore AB+AF=AE+BE+AF=2\left(AF+DF\right)=2AD$.

$\left(1\right)\because$在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore AD\bot BC$，$BD=CD$，
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B=\alpha$，
$\therefore \angle BAD=90^{\circ}-\alpha$，
$\because AE=AF$，
$\therefore \angle AEF=\angle AFE=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAD\right)=45^{\circ}+\frac{α}{2}$，
$\because \angle AEF=\angle B+\angle BCE$，
$\therefore \angle BCE=\angle AEF-\angle B=45^{\circ}+\frac{α}{2}-\alpha =45^{\circ}-\frac{α}{2}$；
$(2)AF$、$AB$、$AD$的数量关系是：$AF+AB=2AD$，证明如下：
过点$D$作$DH$∥$CE$交$AB$于$H$，如图所示：

则$\angle AEF=\angle AHD$，$\angle AFE=\angle ADH$，
$\because$在（1）的条件下，
$\therefore AE=AF$，
$\therefore \angle AEF=\angle AFE$，
$\therefore \angle AHD=\angle ADH$，
$\therefore AH=AD$，
$\therefore AH-AE=AD-AF$，
即$HE=DF$，
$\because BD=CD,DH$∥$CE$，
$\therefore DH$是$\triangle BCE$的中位线，
$\therefore BH=HE$，
$\therefore BH=HE=DF$，
$\therefore BE=2DF$，
$\therefore AB+AF=AE+BE+AF=2\left(AF+DF\right)=2AD$.