题目
如图,在
△ABC中,
AB=AC,
∠BAC=36∘,
BD是
∠ABC的平分线,交
AC于点
D,
E是
AB的中点,连接
ED并延长,交
BC的延长线于点
F,连接
AF,求证:
(1)EF⊥AB；
(2)△ACF为等腰三角形.
知识点：三角形内角和定理、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
证明：
(1)∵AB=AC，
∠BAC=36∘，
∴∠ABC=72∘，
又
∵BD是
∠ABC的平分线，
∴∠ABD=36∘，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD，
又
∵E是
AB的中点，
∴DE⊥AB，即
FE⊥AB；
(2)∵FE⊥AB，
AE=BE，
∴FE垂直平分
AB，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
又
∵∠ABD=∠BAD，
∴∠FAD=∠FBD=36∘，
又
∵∠ACB=72∘，
∴∠AFC=∠ACB−∠CAF=36∘，
∴∠CAF=∠AFC=36∘，
∴AC=CF，即
△ACF为等腰三角形.
解析
证明：
(1)∵AB=AC，
∠BAC=36∘，
∴∠ABC=72∘，
又
∵BD是
∠ABC的平分线，
∴∠ABD=36∘，
∴∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD，
又
∵E是
AB的中点，
∴DE⊥AB，即
FE⊥AB；
(2)∵FE⊥AB，
AE=BE，
∴FE垂直平分
AB，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
又
∵∠ABD=∠BAD，
∴∠FAD=∠FBD=36∘，
又
∵∠ACB=72∘，
∴∠AFC=∠ACB−∠CAF=36∘，
∴∠CAF=∠AFC=36∘，
∴AC=CF，即
△ACF为等腰三角形.
