题目
如图,在
△ABC中,
CD⊥BD,垂足为
D,且
CD=BD.BE平分
∠ABC,且
BE⊥AC,垂足为
E,交
CD于点
F.
(1)求证:
AE=CE；
(2)求证:
BF=2CE.
知识点：全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、勾股定理章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
证明：
(1)∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠BEA=90∘，
∵BE平分
∠ABC，
∴∠EBC=∠EBA，
在
△CBE和
△ABE中，
⎩⎨⎧∠CBE=∠ABEBE=BE∠BEC=∠BEA，
∴△CBE≌△ABE(ASA)，
∴AE=CE；
(2)∵BE⊥AC，
CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=∠BEA=90∘，
∴∠EBA+∠A=90∘，
∠ACD+∠A=90∘，
∴∠EBA=∠ACD，
在
△BDF和
△CDA中，
⎩⎨⎧∠ABE=∠ACDBD=CD∠BDF=∠CDA，
∴△BDF≌△CDA(ASA)，
∴BF=AC，
∵AE=CE，
∴BF=AC=2CE.
解析
证明：
(1)∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠BEA=90∘，
∵BE平分
∠ABC，
∴∠EBC=∠EBA，
在
△CBE和
△ABE中，
⎩⎨⎧∠CBE=∠ABEBE=BE∠BEC=∠BEA，
∴△CBE≌△ABE(ASA)，
∴AE=CE；
(2)∵BE⊥AC，
CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=∠BEA=90∘，
∴∠EBA+∠A=90∘，
∠ACD+∠A=90∘，
∴∠EBA=∠ACD，
在
△BDF和
△CDA中，
⎩⎨⎧∠ABE=∠ACDBD=CD∠BDF=∠CDA，
∴△BDF≌△CDA(ASA)，
∴BF=AC，
∵AE=CE，
∴BF=AC=2CE.
