B

当$a\leqslant 0$时，$-a$不是负数，则$A$不符合题意；
$a$的相反数是$-a$，则$B$符合题意；
当$a=0$时，$a$没有倒数，则$C$不符合题意；
当$a \lt 0$时，$a$的绝对值等于$-a$，则$D$不符合题意；
故选：$B$.