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八年级数学填空题一般
题目
阅读与思考
阅读下列材料,完成相应的任务.
有理点与无理点
平面直角坐标系是重要的数学工具,借助坐标系,可以将"数"这一代数对象赋予"点"的几何特征.在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标和纵坐标都是有理数,则称这个点为"有理点"；如果一个点的横、纵坐标中至少有一个是无理数,则称这个点为"无理点".
如图,平面直角坐标系中,点AA的坐标为(2,1)\left(2,1\right),以点OO为圆心,OAOA为半径画弧,与xx轴的正半轴、yy轴的正半轴分别交于点BB,CC,作直线BCBC.易知图中点AA是"有理点",点BB,CC都是"无理点".
任务:
(1)(1)填空:上述材料中点BB的坐标为______,点CC的坐标为______；
(2)(2)已知直线BCBC的函数表达式为y=−x+5y=-x+\sqrt{5}.小文认为直线BCBC上除BB,CC两点外的其余各点都是"有理点".请你判断他的观点是否正确,并说明理由；
(3)(3)在xx轴上是否存在点QQ,使△QBC\triangle QBC的面积等于△OBC\triangle OBC面积的22倍?若存在,直接写出点QQ的坐标；若不存在,说明理由.
知识点：等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

（1）过AA作AM⊥xAM\bot x轴，垂足为MM，

∵A(2,1)\because A\left(2,1\right)，
∴M(2,0)\therefore M\left(2,0\right)，
∴OM=2\therefore OM=2，AM=1AM=1，
在Rt△AMORt\triangle AMO中，OA2=AM2+AM2OA^{2}=AM^{2}+AM^{2}，
∴OA2=12+22=5\therefore OA^{2}=1^{2}+2^{2}=5，
∴OA=5\therefore OA=\sqrt{5}；
∵B\because B，CC在点OO为圆心，OAOA为半径的圆上，
∴OB=OC=5\therefore OB=OC=\sqrt{5}，
∴B(5\therefore B(\sqrt{5}，0)0)，C(0C(0，5)\sqrt{5})，
故答案为：（5\sqrt{5}，0)0)，(0(0，5)\sqrt{5})；
(2)(2)小文的观点错误，理由如下：
∵BC\because BC的函数表达式为y=−x+5y=-x+\sqrt{5}，
当x=25x=2\sqrt{5}时，y=−25+5=−5y=-2\sqrt{5}+\sqrt{5}=-\sqrt{5}，
∴\therefore点（25，−5)2\sqrt{5}，-\sqrt{5})在直线BCBC上，
∵\because点(25(2\sqrt{5}，−5)-\sqrt{5})是无理点，且与BB，CC不重合；
(3)(3)设Q(z,0)Q\left(z,0\right)，
△OBC\triangle OBC面积是12OB•OC=12×5×5=52\frac{1}{2}OB•OC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}，
∵△QBC\because \triangle QBC的面积等于△OBC\triangle OBC面积的22倍，
∴△QBC\therefore \triangle QBC的面积是55，
∴12QB•OC=5\therefore \frac{1}{2}QB•OC=5，
∴12×5QB=5\therefore \frac{1}{2}×\sqrt{5}QB=5，
∴QB=25\therefore QB=2\sqrt{5}，
∵B(5\because B(\sqrt{5}，0)0)，
∴Q\therefore Q点坐标为（−5-\sqrt{5}，0)0)或（353\sqrt{5}，0)0).

解析

（1）过AA作AM⊥xAM\bot x轴，垂足为MM，

∵A(2,1)\because A\left(2,1\right)，
∴M(2,0)\therefore M\left(2,0\right)，
∴OM=2\therefore OM=2，AM=1AM=1，
在Rt△AMORt\triangle AMO中，OA2=AM2+AM2OA^{2}=AM^{2}+AM^{2}，
∴OA2=12+22=5\therefore OA^{2}=1^{2}+2^{2}=5，
∴OA=5\therefore OA=\sqrt{5}；
∵B\because B，CC在点OO为圆心，OAOA为半径的圆上，
∴OB=OC=5\therefore OB=OC=\sqrt{5}，
∴B(5\therefore B(\sqrt{5}，0)0)，C(0C(0，5)\sqrt{5})，
故答案为：（5\sqrt{5}，0)0)，(0(0，5)\sqrt{5})；
(2)(2)小文的观点错误，理由如下：
∵BC\because BC的函数表达式为y=−x+5y=-x+\sqrt{5}，
当x=25x=2\sqrt{5}时，y=−25+5=−5y=-2\sqrt{5}+\sqrt{5}=-\sqrt{5}，
∴\therefore点（25，−5)2\sqrt{5}，-\sqrt{5})在直线BCBC上，
∵\because点(25(2\sqrt{5}，−5)-\sqrt{5})是无理点，且与BB，CC不重合；
(3)(3)设Q(z,0)Q\left(z,0\right)，
△OBC\triangle OBC面积是12OB•OC=12×5×5=52\frac{1}{2}OB•OC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}，
∵△QBC\because \triangle QBC的面积等于△OBC\triangle OBC面积的22倍，
∴△QBC\therefore \triangle QBC的面积是55，
∴12QB•OC=5\therefore \frac{1}{2}QB•OC=5，
∴12×5QB=5\therefore \frac{1}{2}×\sqrt{5}QB=5，
∴QB=25\therefore QB=2\sqrt{5}，
∵B(5\because B(\sqrt{5}，0)0)，
∴Q\therefore Q点坐标为（−5-\sqrt{5}，0)0)或（353\sqrt{5}，0)0).

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