$(1)$证明：$\because \angle C=90^{\circ}$，$DE\bot AB$，
$\therefore \angle C=\angle DEA=90^{\circ}$.
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore DE=CD$，
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle FDC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle ADE$≌$Rt\triangle FDC\left(HL\right)$；
$(2)$$\because Rt\triangle ADE$≌$Rt\triangle FDC$，
$\therefore CF=AE$，
在$Rt\triangle EBD$和$Rt\triangle CBD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle EBD$≌$Rt\triangle CBD\left(HL\right)$，
$\therefore BE=BC$，
$\because \angle C=90^{\circ}$，$CF=3$，$CD=4$，
$\therefore AD=DF=\sqrt{C{F}^{2}+C{D}^{2}}=5$，
$\because CD=4$，
$\therefore AC=5+4=9$，
设$BF=x$，则$BC=x+3$，$AB=x+6$，
$\therefore 9^{2}+\left(x+3\right)^{2}=\left(x+6\right)^{2}$，
解得$x=9$，
$\therefore BF=9$.

$(1)$证明：$\because \angle C=90^{\circ}$，$DE\bot AB$，
$\therefore \angle C=\angle DEA=90^{\circ}$.
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore DE=CD$，
在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle FDC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DF}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle ADE$≌$Rt\triangle FDC\left(HL\right)$；
$(2)$$\because Rt\triangle ADE$≌$Rt\triangle FDC$，
$\therefore CF=AE$，
在$Rt\triangle EBD$和$Rt\triangle CBD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle EBD$≌$Rt\triangle CBD\left(HL\right)$，
$\therefore BE=BC$，
$\because \angle C=90^{\circ}$，$CF=3$，$CD=4$，
$\therefore AD=DF=\sqrt{C{F}^{2}+C{D}^{2}}=5$，
$\because CD=4$，
$\therefore AC=5+4=9$，
设$BF=x$，则$BC=x+3$，$AB=x+6$，
$\therefore 9^{2}+\left(x+3\right)^{2}=\left(x+6\right)^{2}$，
解得$x=9$，
$\therefore BF=9$.