$\because MN$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AD=BD$，
$\because AD=BC$，
$\therefore BD=BC$，
设$\angle A=\angle ABD=x$，则$\angle BDC=\angle C=\angle ABC=2x$，
即$x+2x+2x=180^{\circ}$，
解得：$x=36^{\circ}$，
$\therefore \angle C=\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=72^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$，
答：$\angle DBC$的度数是$36^{\circ}$.

$\because MN$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AD=BD$，
$\because AD=BC$，
$\therefore BD=BC$，
设$\angle A=\angle ABD=x$，则$\angle BDC=\angle C=\angle ABC=2x$，
即$x+2x+2x=180^{\circ}$，
解得：$x=36^{\circ}$，
$\therefore \angle C=\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=72^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$，
答：$\angle DBC$的度数是$36^{\circ}$.