C

过$A$作$AE\bot BC$于点$E$，

$\because AB=AC$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形，
$\because AE\bot BC$，
$\therefore EB=EC=\frac{1}{2}CB=3$，
在$Rt\triangle ABE$中，$AE=\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4$，
$\therefore \triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AE=\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$，
$\therefore \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=12$，
$\frac{1}{2}×5\times BD=12$，
解得$BD=\frac{24}{5}$.
故选：$C$.