$\because \angle BAC$和$\angle ABC$的平分线$AE$，$BF$相交于点$O$，
$\therefore ∠OBA=\frac{1}{2}∠CBA$，$∠OAB=\frac{1}{2}∠CAB$，
$\therefore \angle AOB=180^{\circ}-\angle OBA-\angle OAB$
$=180°-\frac{1}{2}(∠CBA+∠CAB)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠C)$
$=90°+\frac{1}{2}∠C$，故①错误；
过$O$点作$OP\bot AB$于$P$，

$\because BF$平分$\angle ABC$，$OD\bot BC$，
$\therefore OP=OD=1$，
$\because AB=4$，
$\therefore {S}_{△ABO}=\frac{1}{2}AB⋅OP=\frac{1}{2}×4×1=2$，故②正确；
$\because \angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC+\angle ABC=120^{\circ}$，
$\because AE$，$BF$分别是$\angle BAC$与$\angle ABC$的平分线，
$\therefore ∠OAB+∠OBA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=60°$，
$\therefore \angle AOB=120^{\circ}$，
$\therefore \angle AOF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE=60^{\circ}$，
如图，在$AB$上取一点$H$，使$BH=BE$，

$\because BF$是$\angle ABC$的角平分线，
$\therefore \angle HBO=\angle EBO$，
在$\triangle HBO$和$\triangle EBO$中，
$\left\{\begin{array}{c}BH=BE\\∠HBO=∠EBO\\ BO=BO\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle HBO$≌$\triangle EBO\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BOH=\angle BOE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=\angle AOF$，
在$\triangle HAO$和$\triangle FAO$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠HAO=∠FAO\\ AO=AO\\∠AOH=∠AOF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle HAO$≌$\triangle FAO\left(ASA\right)$，
$\therefore AF=AH$，
$\therefore AB=BH+AH=BE+AF$，故③正确；
作$ON\bot AC$于$N$，$OM\bot AB$于$M$，

$\because \angle BAC$和$\angle ABC$的平分线相交于点$O$，
$\therefore$点$O$在$\angle C$的平分线上，
$\therefore ON=OM=OD=a$，
$\because AB+AC+BC=2b$，
$\therefore {S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB⋅OM+\frac{1}{2}AC⋅ON+\frac{1}{2}BC⋅OD=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)⋅a=ab$，故④正确.
综上，②③④正确.
故答案为：②③④.

$\because \angle BAC$和$\angle ABC$的平分线$AE$，$BF$相交于点$O$，
$\therefore ∠OBA=\frac{1}{2}∠CBA$，$∠OAB=\frac{1}{2}∠CAB$，
$\therefore \angle AOB=180^{\circ}-\angle OBA-\angle OAB$
$=180°-\frac{1}{2}(∠CBA+∠CAB)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠C)$
$=90°+\frac{1}{2}∠C$，故①错误；
过$O$点作$OP\bot AB$于$P$，

$\because BF$平分$\angle ABC$，$OD\bot BC$，
$\therefore OP=OD=1$，
$\because AB=4$，
$\therefore {S}_{△ABO}=\frac{1}{2}AB⋅OP=\frac{1}{2}×4×1=2$，故②正确；
$\because \angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC+\angle ABC=120^{\circ}$，
$\because AE$，$BF$分别是$\angle BAC$与$\angle ABC$的平分线，
$\therefore ∠OAB+∠OBA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=60°$，
$\therefore \angle AOB=120^{\circ}$，
$\therefore \angle AOF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE=60^{\circ}$，
如图，在$AB$上取一点$H$，使$BH=BE$，

$\because BF$是$\angle ABC$的角平分线，
$\therefore \angle HBO=\angle EBO$，
在$\triangle HBO$和$\triangle EBO$中，
$\left\{\begin{array}{c}BH=BE\\∠HBO=∠EBO\\ BO=BO\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle HBO$≌$\triangle EBO\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BOH=\angle BOE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=\angle AOF$，
在$\triangle HAO$和$\triangle FAO$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠HAO=∠FAO\\ AO=AO\\∠AOH=∠AOF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle HAO$≌$\triangle FAO\left(ASA\right)$，
$\therefore AF=AH$，
$\therefore AB=BH+AH=BE+AF$，故③正确；
作$ON\bot AC$于$N$，$OM\bot AB$于$M$，

$\because \angle BAC$和$\angle ABC$的平分线相交于点$O$，
$\therefore$点$O$在$\angle C$的平分线上，
$\therefore ON=OM=OD=a$，
$\because AB+AC+BC=2b$，
$\therefore {S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB⋅OM+\frac{1}{2}AC⋅ON+\frac{1}{2}BC⋅OD=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)⋅a=ab$，故④正确.
综上，②③④正确.
故答案为：②③④.