$\because AB=AC=10cm$，$BC=8cm$，点$D$为$AB$的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}\times 10=5\left(cm\right)$，
设点$P$、$Q$的运动时间为$t$，则$BP=3t$，
$PC=\left(8-3t\right)cm$，
①当$BD=PC$时，
$8-3t=5$，
解得：$t=1$，
则$BP=CQ=3t=3$，
故点$Q$的运动速度为：$3\div 3=1($厘米$/$秒）；
②当$BP=PC$时，
$\because BC=8cm$，
$\therefore BP=PC=4cm$，
$\therefore t=4\div 3=\frac{4}{3}($秒），
故点$Q$的运动速度为$5\div \frac{4}{3}=\frac{15}{4}($厘米$/$秒）；
故答案为：$1$或$\frac{15}{4}$.

$\because AB=AC=10cm$，$BC=8cm$，点$D$为$AB$的中点，
$\therefore BD=\frac{1}{2}\times 10=5\left(cm\right)$，
设点$P$、$Q$的运动时间为$t$，则$BP=3t$，
$PC=\left(8-3t\right)cm$，
①当$BD=PC$时，
$8-3t=5$，
解得：$t=1$，
则$BP=CQ=3t=3$，
故点$Q$的运动速度为：$3\div 3=1($厘米$/$秒）；
②当$BP=PC$时，
$\because BC=8cm$，
$\therefore BP=PC=4cm$，
$\therefore t=4\div 3=\frac{4}{3}($秒），
故点$Q$的运动速度为$5\div \frac{4}{3}=\frac{15}{4}($厘米$/$秒）；
故答案为：$1$或$\frac{15}{4}$.