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八年级数学解答题一般
题目
(1)(1)如图,在△ABC\triangle ABC中,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},AB=ACAB=AC,点DD在BCBC上,且CD=CACD=CA,点EE在CBCB的延长线上,且BE=BABE=BA,求∠DAE\angle DAE的度数；
(2)(2)如果把第（1）题中"AB=ACAB=AC"的条件舍去,其余条件不变,那么∠DAE\angle DAE的度数会改变吗?(不需要说理）
(3)(3)如果把第（1）题中"∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}"的条件改为"∠BAC>90∘\angle BAC \gt 90^{\circ}",其余条件不变,那么∠DAE\angle DAE与∠BAC\angle BAC有怎样的数量关系?请说明理由.
知识点：三角形内角和定理、等腰三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

（1）在△ABC\triangle ABC中，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴∠ABC=∠C=45∘\therefore \angle ABC=\angle C=45^{\circ}，
∵CD=CA\because CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=12(180∘−∠C)=67.5∘\therefore \angle CAD=\angle CDA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=67.5^{\circ}，
∴∠DAB=∠BAC−∠CAD=90∘−67.5∘=22.5∘\therefore \angle DAB=\angle BAC-\angle CAD=90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}，
∵BE=BA\because BE=BA，
∴∠B=∠BAE\therefore \angle B=\angle BAE，
∵∠ABC=∠B+∠BAE=2∠BAE\because \angle ABC=\angle B+\angle BAE=2\angle BAE，
∴∠BAE=12∠ABC=12×45∘=22.5∘\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times 45^{\circ}=22.5^{\circ}，
∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=22.5∘+22.5∘=45∘\therefore \angle DAE=\angle BAE+\angle DAB=22.5^{\circ}+22.5^{\circ}=45^{\circ}；
(2)∠DAE(2)\angle DAE的度数不会改变，理由如下：如图11所示：

在△ABC\triangle ABC中，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠ABC=90∘−∠C\therefore \angle ABC=90^{\circ}-\angle C，
∵CD=CA\because CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=12(180∘−∠C)=90∘−12∠C\therefore \angle CAD=\angle CDA=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C，
∴∠DAB=∠BAC−∠CAD=90∘−(90∘−12∠C)=12∠C\therefore \angle DAB=\angle BAC-\angle CAD=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C)=\frac{1}{2}\angle C，
∵BE=BA\because BE=BA，
∴∠B=∠BAE\therefore \angle B=\angle BAE，
∵∠ABC=∠B+∠BAE=2∠BAE\because \angle ABC=\angle B+\angle BAE=2\angle BAE，
∴∠BAE=12∠ABC=12×(90∘−∠C)=45∘−12∠C\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times \left(90^{\circ}-\angle C\right)=45^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C，
∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=45∘−12∠C+12∠C=45∘\therefore \angle DAE=\angle BAE+\angle DAB=45^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C+\frac{1}{2}\angle C=45^{\circ}；
(3)∠DAE(3)\angle DAE与∠BAC\angle BAC的数量关系是：∠DAE=12∠BAC\angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAC，理由如下：
在△ABC\triangle ABC中，设∠BAC=α\angle BAC=\alpha，∠C=β\angle C=\beta，如图22所示：

∴∠ABC=180∘−α−β\therefore \angle ABC=180^{\circ}-\alpha -\beta，
∵CD=CA\because CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=12(180∘−∠C)=90∘−12β\therefore \angle CAD=\angle CDA=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta，
∴∠DAB=∠BAC−∠CAD=α−(90∘−12β)=α+12β−90∘\therefore \angle DAB=\angle BAC-\angle CAD=\alpha -(90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta )=\alpha +\frac{1}{2}\beta -90^{\circ}，
∵BE=BA\because BE=BA，
∴∠B=∠BAE\therefore \angle B=\angle BAE，
∵∠ABC=∠B+∠BAE=2∠BAE\because \angle ABC=\angle B+\angle BAE=2\angle BAE，
∴∠BAE=12∠ABC=12×(180∘−α−β)=90∘−12α−12β\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\alpha -\beta \right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha -\frac{1}{2}\beta，
∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=90∘−12α−12β+α+12β−90∘=12α\therefore \angle DAE=\angle BAE+\angle DAB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha -\frac{1}{2}\beta +\alpha +\frac{1}{2}\beta -90^{\circ}=\frac{1}{2}\alpha，
∴∠DAE=12∠BAC\therefore \angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAC.

解析

（1）在△ABC\triangle ABC中，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，AB=ACAB=AC，
∴∠ABC=∠C=45∘\therefore \angle ABC=\angle C=45^{\circ}，
∵CD=CA\because CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=12(180∘−∠C)=67.5∘\therefore \angle CAD=\angle CDA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=67.5^{\circ}，
∴∠DAB=∠BAC−∠CAD=90∘−67.5∘=22.5∘\therefore \angle DAB=\angle BAC-\angle CAD=90^{\circ}-67.5^{\circ}=22.5^{\circ}，
∵BE=BA\because BE=BA，
∴∠B=∠BAE\therefore \angle B=\angle BAE，
∵∠ABC=∠B+∠BAE=2∠BAE\because \angle ABC=\angle B+\angle BAE=2\angle BAE，
∴∠BAE=12∠ABC=12×45∘=22.5∘\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times 45^{\circ}=22.5^{\circ}，
∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=22.5∘+22.5∘=45∘\therefore \angle DAE=\angle BAE+\angle DAB=22.5^{\circ}+22.5^{\circ}=45^{\circ}；
(2)∠DAE(2)\angle DAE的度数不会改变，理由如下：如图11所示：

在△ABC\triangle ABC中，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠ABC=90∘−∠C\therefore \angle ABC=90^{\circ}-\angle C，
∵CD=CA\because CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=12(180∘−∠C)=90∘−12∠C\therefore \angle CAD=\angle CDA=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C，
∴∠DAB=∠BAC−∠CAD=90∘−(90∘−12∠C)=12∠C\therefore \angle DAB=\angle BAC-\angle CAD=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C)=\frac{1}{2}\angle C，
∵BE=BA\because BE=BA，
∴∠B=∠BAE\therefore \angle B=\angle BAE，
∵∠ABC=∠B+∠BAE=2∠BAE\because \angle ABC=\angle B+\angle BAE=2\angle BAE，
∴∠BAE=12∠ABC=12×(90∘−∠C)=45∘−12∠C\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times \left(90^{\circ}-\angle C\right)=45^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C，
∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=45∘−12∠C+12∠C=45∘\therefore \angle DAE=\angle BAE+\angle DAB=45^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C+\frac{1}{2}\angle C=45^{\circ}；
(3)∠DAE(3)\angle DAE与∠BAC\angle BAC的数量关系是：∠DAE=12∠BAC\angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAC，理由如下：
在△ABC\triangle ABC中，设∠BAC=α\angle BAC=\alpha，∠C=β\angle C=\beta，如图22所示：

∴∠ABC=180∘−α−β\therefore \angle ABC=180^{\circ}-\alpha -\beta，
∵CD=CA\because CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=12(180∘−∠C)=90∘−12β\therefore \angle CAD=\angle CDA=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta，
∴∠DAB=∠BAC−∠CAD=α−(90∘−12β)=α+12β−90∘\therefore \angle DAB=\angle BAC-\angle CAD=\alpha -(90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta )=\alpha +\frac{1}{2}\beta -90^{\circ}，
∵BE=BA\because BE=BA，
∴∠B=∠BAE\therefore \angle B=\angle BAE，
∵∠ABC=∠B+∠BAE=2∠BAE\because \angle ABC=\angle B+\angle BAE=2\angle BAE，
∴∠BAE=12∠ABC=12×(180∘−α−β)=90∘−12α−12β\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\alpha -\beta \right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha -\frac{1}{2}\beta，
∴∠DAE=∠BAE+∠DAB=90∘−12α−12β+α+12β−90∘=12α\therefore \angle DAE=\angle BAE+\angle DAB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha -\frac{1}{2}\beta +\alpha +\frac{1}{2}\beta -90^{\circ}=\frac{1}{2}\alpha，
∴∠DAE=12∠BAC\therefore \angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAC.

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