$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD+\angle CDA=90^{\circ}$，
$\because AB\bot BE$，
$\therefore \angle ABE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB+\angle BAE=90^{\circ}$，
$\because AF$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAE=\angle CAD$，
$\therefore \angle CDA=\angle BEA$，
$\because \angle CDA=\angle BDE$，
$\therefore \angle BDE=\angle BEA$，
$\therefore BD=BE$，
$\because M$是$DE$的中点，
$\therefore BM\bot DE$，
$\therefore BG$垂直平分$DE$，
故②选项符合题意；
$\because \angle BDM+\angle DBM=90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle BDM$，$\angle CAD+\angle CDA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle DBM$，
在$\triangle ACD$和$\triangle BCG$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBG}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCG}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BCG$≌$\triangle ACD\left(ASA\right)$，
故①选项符合题意；
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$BC=AC$，
$\therefore \angle CAB=\angle CBA=45^{\circ}$，
$\because AF$平分$\angle CAB$，
$\therefore \angle CAE=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle G=90^{\circ}-22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
$\because \angle ABE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DBE=45^{\circ}$，
$\because BD=BE$，$M$是$DE$的中点，
$\therefore \angle GBE=\angle DBM=22.5^{\circ}$，
$\therefore 2\angle GBE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle G\neq 2\angle GBE$，
故③选项不符合题意；
$\because \triangle BCG$≌$\triangle ACD$，
$\therefore CG=CD$，
$\because BE=BD$，
$\therefore BE+CG=BC=AC$，
故④选项符合题意，
综上，正确的选项有①②④，
故答案为：①②④.

$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD+\angle CDA=90^{\circ}$，
$\because AB\bot BE$，
$\therefore \angle ABE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB+\angle BAE=90^{\circ}$，
$\because AF$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAE=\angle CAD$，
$\therefore \angle CDA=\angle BEA$，
$\because \angle CDA=\angle BDE$，
$\therefore \angle BDE=\angle BEA$，
$\therefore BD=BE$，
$\because M$是$DE$的中点，
$\therefore BM\bot DE$，
$\therefore BG$垂直平分$DE$，
故②选项符合题意；
$\because \angle BDM+\angle DBM=90^{\circ}$，$\angle ADC=\angle BDM$，$\angle CAD+\angle CDA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle DBM$，
在$\triangle ACD$和$\triangle BCG$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBG}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCG}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BCG$≌$\triangle ACD\left(ASA\right)$，
故①选项符合题意；
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$BC=AC$，
$\therefore \angle CAB=\angle CBA=45^{\circ}$，
$\because AF$平分$\angle CAB$，
$\therefore \angle CAE=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle G=90^{\circ}-22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
$\because \angle ABE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DBE=45^{\circ}$，
$\because BD=BE$，$M$是$DE$的中点，
$\therefore \angle GBE=\angle DBM=22.5^{\circ}$，
$\therefore 2\angle GBE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle G\neq 2\angle GBE$，
故③选项不符合题意；
$\because \triangle BCG$≌$\triangle ACD$，
$\therefore CG=CD$，
$\because BE=BD$，
$\therefore BE+CG=BC=AC$，
故④选项符合题意，
综上，正确的选项有①②④，
故答案为：①②④.