D

$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB=CD$，$AD=BC$，$\angle ABC=\angle BAD=90^{\circ}$，
$\because AE$平分$\angle BAD$，
$\therefore \angle BAE=\angle DAE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle AEB=\angle BAE=45^{\circ}$，
$\therefore AB=BE$，
$\therefore AE=\sqrt{2}AB$，
$\because AD=\sqrt{2}AB$，
$\therefore AD=AE$，故①正确；
$\because \angle BAE=\angle DAE=45^{\circ}$，$AD=AE$，$\angle ABE=\angle AFD=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABE$≌$\triangle AFD\left(AAS\right)$，
$\therefore AB=AF$，$BE=DF$，
$\therefore AB=BE=AF=DF=CD$，
$\therefore EF=CE$，$\angle ADF=45^{\circ}$，
又$\because DE=DE$，
$\therefore \triangle DEC$≌$\triangle DEF\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle DEA=\angle DEC$，故②正确；
$\because DF=DC$，$EF=EC$，
$\therefore DE$垂直平分$FC$，故③正确；
$\because \angle CDF=90^{\circ}-\angle ADF=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE=\angle FDC=45^{\circ}$，
又$\because AB=DF$，$AF=CD$，
$\therefore \triangle ABF$≌$\triangle DFC\left(SAS\right)$，
$\therefore BF=CF$，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②③④，共$4$个，
故选：$D$.