"三等分角"是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一.如图$1$所示的"三等分角仪"是利用阿基米德原理做出的.这个仪器由两根有槽的棒$PA$,$PB$组成,两根棒在$P$点相连并可绕点$P$旋转,$C$点是棒$PA$上的一个固定点,点$A$,$O$可在棒$PA$,$PB$内的槽中滑动,且始终保持$OA=OC=PC.\angle AOB$为要三等分的任意角.则利用"三等分角仪"可以得到$\angle APB=\frac{1}{3}\angle AOB$.
我们把"三等分角仪"抽象成如图$2$所示的图形,完成下面的证明.
已知:如图$2$,点$O$,$C$分别在$\angle APB$的边$PB$,$PA$上,且$OA=OC=PC$.
求证:$\angle APB=\frac{1}{3}\angle AOB$.