（1）根据题意，得$BP=2t$，
$\therefore PC=16-2t=16-2\times 3=10$，
在$Rt\triangle APC$中，$AC=8$，
根据勾股定理，得$AP=\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+1{0}^{2}}=2\sqrt{41}$，
故答案为：$2\sqrt{41}$
$(2)$在$Rt\triangle ABC$中，$AC=8$，$BC=16$，
根据勾股定理，得$AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{64+256}=8\sqrt{5}$，
$\because \triangle ABP$为等腰三角形，
若$PA=PB$，则$AP=2t$，
在$Rt\triangle ACP$中，根据勾股定理得，$\left(2t\right)^{2}=\left(16-2t\right)^{2}+8^{2}$，
解得$t=5$，
若$BA=BP$，则$2t=8\sqrt{5}$，解得$t=4\sqrt{5}$；
若$AB=AP$，则$BP=32$，$2t=32$，解得$t=16$；
即满足条件的$t$的值为$4\sqrt{5}$或$16$或$5$.

（1）根据题意，得$BP=2t$，
$\therefore PC=16-2t=16-2\times 3=10$，
在$Rt\triangle APC$中，$AC=8$，
根据勾股定理，得$AP=\sqrt{A{C}^{2}+P{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+1{0}^{2}}=2\sqrt{41}$，
故答案为：$2\sqrt{41}$
$(2)$在$Rt\triangle ABC$中，$AC=8$，$BC=16$，
根据勾股定理，得$AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{64+256}=8\sqrt{5}$，
$\because \triangle ABP$为等腰三角形，
若$PA=PB$，则$AP=2t$，
在$Rt\triangle ACP$中，根据勾股定理得，$\left(2t\right)^{2}=\left(16-2t\right)^{2}+8^{2}$，
解得$t=5$，
若$BA=BP$，则$2t=8\sqrt{5}$，解得$t=4\sqrt{5}$；
若$AB=AP$，则$BP=32$，$2t=32$，解得$t=16$；
即满足条件的$t$的值为$4\sqrt{5}$或$16$或$5$.