D

$A$.根据有理数的乘方，得$2^{3}=8$，$3^{2}=9$，那么$2^{3}\neq 3^{2}$，故$A$不符合题意.
$B$.根据有理数的乘方以及绝对值，得$-2^{3}=-8$，$|-2|^{3}=2^{3}=8$，那么$-2^{3}\neq |-2|^{3}$，故$B$不符合题意.
$C$.根据有理数的乘方，得$-3^{2}=-9$，$\left(-3\right)^{2}=9$，那么$-3^{2}\neq \left(-3\right)^{2}$，故$C$不符合题意.
$D$.根据有理数的乘方，得$\left(-1\right)^{2}=1$，$\left(-1\right)^{4}=1$，那么$\left(-1\right)^{2}=\left(-1\right)^{4}$，故$D$符合题意.
故选：$D$.