C

①$\because$四边形$OABC$是矩形，$B(2\sqrt{3}$，$2)$，
$\therefore OA=BC=2\sqrt{3}$；故①正确；
②$\because$点$D$为$OA$的中点，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA=\sqrt{3}$，
$\therefore PC^{2}+PD^{2}=CD^{2}=OC^{2}+OD^{2}=2^{2}+(\sqrt{3})^{2}=7$，故②正确；
③如图，过点$P$作$PF\bot OA$于$F$，$FP$的延长线交$BC$于$E$，
$\therefore PE\bot BC$，四边形$OFEC$是矩形，
$\therefore EF=OC=2$，
设$PE=a$，则$PF=EF-PE=2-a$，
在$Rt\triangle BEP$中，$\tan \angle CBO=\frac{PE}{BE}=\frac{OC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore BE=\sqrt{3}PE=\sqrt{3}a$，
$\therefore CE=BC-BE=2\sqrt{3}-\sqrt{3}a=\sqrt{3}(2-a)$，
$\because PD\bot PC$，
$\therefore \angle CPE+\angle FPD=90^{\circ}$，
$\because \angle CPE+\angle PCE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle FPD=\angle ECP$，
$\because \angle CEP=\angle PFD=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle CEP$∽$\triangle PFD$，
$\therefore \frac{CE}{PF}=\frac{PC}{PD}$，
$\therefore \tan \angle PDC=\frac{PC}{PD}=\frac{CE}{PF}=\frac{\sqrt{3}(2-a)}{2-a}=\sqrt{3}$，
$\therefore \angle PDC=60^{\circ}$，故③正确；
④$\because B(2\sqrt{3}$，$2)$，四边形$OABC$是矩形，
$\therefore OA=2\sqrt{3}$，$AB=2$，
$\because \tan \angle AOB=\frac{AB}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore \angle AOB=30^{\circ}$，
当$\triangle ODP$为等腰三角形时，
$Ⅰ$、$OD=PD$，
$\therefore \angle DOP=\angle DPO=30^{\circ}$，
$\therefore \angle ODP=120^{\circ}$，
$\therefore \angle ODC=60^{\circ}$，
$\therefore OD=\frac{\sqrt{3}}{3}OC=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
$Ⅱ$、当$D$在$x$轴的正半轴上时，$OP=OD$，
$\therefore \angle ODP=\angle OPD=75^{\circ}$，
$\because \angle COD=\angle CPD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle OCP=105^{\circ} \gt 90^{\circ}$，故不合题意舍去；
当$D$在$x$轴的负半轴上时，$OP\’=OD\’$，
$\because \angle AOB=30^{\circ}$，
$\therefore \angle {D\’}OP\’=150^{\circ}$，
$\because \angle CP\’{D\’}=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CP\’O=105^{\circ}$，
$\because \angle COP\’=60^{\circ}$，
$\therefore \angle OCP\’=15^{\circ}$，
$\therefore \angle BCP\’=75^{\circ}$，
$\therefore \angle CP\’B=180^{\circ}-75^{\circ}-30^{\circ}=75^{\circ}$，
$\therefore BC=BP\’=2\sqrt{3}$，
$\therefore OD\’=OP\’=4-2\sqrt{3}$，
$\therefore D(2\sqrt{3}-4,0)$；
Ⅲ、$OP=PD$，
$\therefore \angle POD=\angle PDO=30^{\circ}$，
$\therefore \angle OCP=150^{\circ} \gt 90^{\circ}$故不合题意舍去，
$\therefore$当$\triangle ODP$为等腰三角形时，点$D$的坐标为$(2\sqrt{3}-4,0)$或（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$0)$.故④错误，
故选：$C$.