作点$E$关于$AC$对称点$E_{1}$，作点$D$关于$BC$的对称点$D_{1}$，连接$E_{1}D_{1}$，$AE_{1}$，
把$\triangle ABE_{1}$沿$AC$方向向右平移至$D_{1}B_{1}E_{2}$，使点$A$与$D_{1}$重合，连接$E_{1}E_{2}$，$BE_{2}$，
如下图所示：

由轴对称可知：$AE=AE_{1}$，$BD=BD_{1}$，$CD=CD_{1}$，$CE=CE_{1}$，
$\because BC-AC=CD-EC=2$，$AC+CE=2$，
$\therefore BC+CE=CD+AC=4$，
$\therefore BC+CE=BC+CE_{1}=4$，$AC+CD=AC+CD_{1}=4$，
$\therefore E_{1}E_{2}=AD_{1}=AC+CD_{1}=4$，$BE_{1}=BC+CE_{1}=4$.
由图形变化可知：$AE+BD=AE_{1}+BD_{1}=D_{1}E_{2}+BD_{1}$，
$\therefore$当$E_{2}$，$D_{1}$，$B$三点共线时，$D_{1}E_{2}+BD_{1}$最小，
由平移可知：$\angle BE_{1}E_{2}=90^{\circ}$，
故在$Rt\triangle BE_{1}E_{2}$中，
$BE_{2}=\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$，
即$AE+BD$的最小值为$4\sqrt{2}$.
故答案为：$4\sqrt{2}$.

作点$E$关于$AC$对称点$E_{1}$，作点$D$关于$BC$的对称点$D_{1}$，连接$E_{1}D_{1}$，$AE_{1}$，
把$\triangle ABE_{1}$沿$AC$方向向右平移至$D_{1}B_{1}E_{2}$，使点$A$与$D_{1}$重合，连接$E_{1}E_{2}$，$BE_{2}$，
如下图所示：

由轴对称可知：$AE=AE_{1}$，$BD=BD_{1}$，$CD=CD_{1}$，$CE=CE_{1}$，
$\because BC-AC=CD-EC=2$，$AC+CE=2$，
$\therefore BC+CE=CD+AC=4$，
$\therefore BC+CE=BC+CE_{1}=4$，$AC+CD=AC+CD_{1}=4$，
$\therefore E_{1}E_{2}=AD_{1}=AC+CD_{1}=4$，$BE_{1}=BC+CE_{1}=4$.
由图形变化可知：$AE+BD=AE_{1}+BD_{1}=D_{1}E_{2}+BD_{1}$，
$\therefore$当$E_{2}$，$D_{1}$，$B$三点共线时，$D_{1}E_{2}+BD_{1}$最小，
由平移可知：$\angle BE_{1}E_{2}=90^{\circ}$，
故在$Rt\triangle BE_{1}E_{2}$中，
$BE_{2}=\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$，
即$AE+BD$的最小值为$4\sqrt{2}$.
故答案为：$4\sqrt{2}$.