B

①对$1$，$3$，$5$，$10$进行“差绝对值运算”得：$|1-3|+|1-5|+|1-10|+|3-5|+|3-10|+|5-10|=2+4+9+2+7+5=29$，
故①正确；
②对$x$，$-2$，$5$进行“差绝对值运算”得：$|x+2|+|x-5|+|-2-5|=|x+2|+|x-5|+7$，
$\because |x+2|+|x-5|$表示的是数轴上点$x$到$-2$和$5$的距离之和，
$\therefore |x+2|+|x-5|$的最小值为$2+5=7$，
$\therefore x$，$-2$，$5$的“差绝对值运算”的最小值是：$7+7=14$，故②不正确；
对$a$，$b$，$b$，$c$进行“差绝对值运算”得：$|a-b|+|a-b|+|a-c|+|b-b|+|b-c|+|b-c|=2|a-b|+|a-c|+2|b-c|$，
当$a-b\geqslant 0$，$a-c\geqslant 0$，$b-c\geqslant 0$，$2|a-b|+|a-c|+2|b-c|=3a-3c$；
当$a-b\geqslant 0$，$a-c\geqslant 0$，$b-c\leqslant 0$，$2|a-b|+|a-c|+2|b-c|=3a-4b+c$；
当$a-b\geqslant 0$，$a-c\leqslant 0$，$b-c\leqslant 0$，$2|a-b|+|a-c|+2|b-c|=a-4b+3c$；
当$a-b\leqslant 0$，$a-c\leqslant 0$，$b-c\leqslant 0$，$2|a-b|+|a-c|+2|b-c|=-3a+3c$；
当$a-b\leqslant 0$，$a-c\geqslant 0$，$b-c\geqslant 0$，$2|a-b|+|a-c|+2|b-c|=-a+4b-3c$；
当$a-b\leqslant 0$，$a-c\leqslant 0$，$b-c\geqslant 0$，$2|a-b|+|a-c|+2|b-c|=-3a+4b-c$；
$a$，$b$，$c$的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有$6$种，
故③不正确，
综上，故只有$1$个正确的.
故选：$B$.