在等腰$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle C=45^{\circ}$，
$\because FB\bot BC$，
$\therefore \angle FBC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABF=45^{\circ}$，
$\therefore \angle C=\angle ABF$，
$\because FA\bot AE$，
$\therefore \angle FAE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAE=\angle BAF=90^{\circ}-\angle BAE$，
在$\triangle CAE$和$\triangle BAF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠ABF}\\{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CAE$≌$\triangle BAF\left(ASA\right)$，
$\therefore CE=BF$，$AE=AF$，
故①正确；
如图，连接$DF$，

$\because \angle DAE=45^{\circ}$，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF=\angle BAD+\angle BAF=\angle BAD+\angle CAE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF=\angle DAE$，
在$\triangle DAF$和$\triangle DAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠DAF=∠DAE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DAF$≌$\triangle DAE\left(SAS\right)$，
$\therefore DF=DE$，
$\because BD^{2}+BF^{2}=DF^{2}$，
$\therefore BD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$，
故②错误；
如图，设$EF$交$AD$于点$G$，
$\because AF=AE$，$\angle DAF=\angle DAE$，
$\therefore AD\bot EF$，
$\because S_{\triangle ADF}=S_{\triangle ADE}$，
$\therefore S_{\triangle ADF}+S_{\triangle ADE}=2S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AD\cdot FG+\frac{1}{2}AD\cdot EG=\frac{1}{2}AD\cdot EF$，
$\therefore S_{\triangle ADE}=\frac{1}{4}AD\cdot EF$，
故③正确；
$\because AF=AE$，$\angle FAE=90^{\circ}$，
$\therefore EF^{2}=AF^{2}+AE^{2}=2AE^{2}$，
$\therefore CE^{2}+BE^{2}=BF^{2}+BE^{2}=EF^{2}$，
$\therefore CE^{2}+BE^{2}=2AE^{2}$，
故④正确，
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④.

在等腰$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore AB=AC$，
$\therefore \angle ABC=\angle C=45^{\circ}$，
$\because FB\bot BC$，
$\therefore \angle FBC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABF=45^{\circ}$，
$\therefore \angle C=\angle ABF$，
$\because FA\bot AE$，
$\therefore \angle FAE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAE=\angle BAF=90^{\circ}-\angle BAE$，
在$\triangle CAE$和$\triangle BAF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠ABF}\\{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CAE$≌$\triangle BAF\left(ASA\right)$，
$\therefore CE=BF$，$AE=AF$，
故①正确；
如图，连接$DF$，

$\because \angle DAE=45^{\circ}$，$\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF=\angle BAD+\angle BAF=\angle BAD+\angle CAE=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF=\angle DAE$，
在$\triangle DAF$和$\triangle DAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠DAF=∠DAE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle DAF$≌$\triangle DAE\left(SAS\right)$，
$\therefore DF=DE$，
$\because BD^{2}+BF^{2}=DF^{2}$，
$\therefore BD^{2}+CE^{2}=DE^{2}$，
故②错误；
如图，设$EF$交$AD$于点$G$，
$\because AF=AE$，$\angle DAF=\angle DAE$，
$\therefore AD\bot EF$，
$\because S_{\triangle ADF}=S_{\triangle ADE}$，
$\therefore S_{\triangle ADF}+S_{\triangle ADE}=2S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}AD\cdot FG+\frac{1}{2}AD\cdot EG=\frac{1}{2}AD\cdot EF$，
$\therefore S_{\triangle ADE}=\frac{1}{4}AD\cdot EF$，
故③正确；
$\because AF=AE$，$\angle FAE=90^{\circ}$，
$\therefore EF^{2}=AF^{2}+AE^{2}=2AE^{2}$，
$\therefore CE^{2}+BE^{2}=BF^{2}+BE^{2}=EF^{2}$，
$\therefore CE^{2}+BE^{2}=2AE^{2}$，
故④正确，
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④.