题目如图
1,在
△ABC中,
AB=AC,点
D是
BC的中点,点
E在
AD上.
(1)求证:
BE=CE；
(2)如图
2,若
BE的延长线交
AC于点
F,且
BF⊥AC,垂足为
F,
∠BAC=45∘,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
知识点：全等三角形的判定、等腰三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
证明：
(1)∵AB=AC，
D是
BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在
△ABE和
△ACE中，
⎩⎨⎧AB=AC∠BAE=∠EACAE=AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)，
∴BE=CE；
(2)∵∠BAC=45∘，
BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点
D是
BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90∘，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90∘，
∴∠EAF=∠CBF，
在
△AEF和
△BCF中，
⎩⎨⎧∠EAF=∠CBFAF=BF∠AFE=∠BFC=90°，
∴△AEF≌△BCF(ASA).解析
证明：
(1)∵AB=AC，
D是
BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在
△ABE和
△ACE中，
⎩⎨⎧AB=AC∠BAE=∠EACAE=AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)，
∴BE=CE；
(2)∵∠BAC=45∘，
BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点
D是
BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90∘，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90∘，
∴∠EAF=∠CBF，
在
△AEF和
△BCF中，
⎩⎨⎧∠EAF=∠CBFAF=BF∠AFE=∠BFC=90°，
∴△AEF≌△BCF(ASA).