题霸题霸学习平台
登录开始使用
← 返回公开题库
八年级数学填空题一般
题目
圆规是尺规作图必不可少的工具之一,图11是我们生活中常见的一种圆规样式.图22是根据圆规结构构造的特殊"圆规"图形.当"圆规"合拢时,点AA和点EE重合,点CC落在线段ABAB上,AB=10AB=10,∠BAF=15∘\angle BAF=15^{\circ},当"圆规"展开一定角度,直立在纸面上时,∠BCD\angle BCD和∠CDF\angle CDF的度数固定不变,EF⊥AE(EF\bot AE(如图3)3),则此时以点AA为圆心,AEAE长为半径所作圆的面积为______.(.(结果保留根号和π)\pi )
知识点：角的运算、三角形内角和定理、等腰三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

连接CECE，过点EE作EH⊥ABEH\bot AB于HH，如图所示：

依题意得：点BB，CC，EE在同一条直线上，∠CED=15∘\angle CED=15^{\circ}，AB=BE=10AB=BE=10，
∵EF⊥AE\because EF\bot AE，
∴∠AEB=90∘−∠CED=75∘\therefore \angle AEB=90^{\circ}-\angle CED=75^{\circ}，
∴∠BAE=∠AEB=75∘\therefore \angle BAE=\angle AEB=75^{\circ}，
∴∠B=180∘−2×75∘=30∘\therefore \angle B=180^{\circ}-2\times 75^{\circ}=30^{\circ}，
在Rt△BEHRt\triangle BEH中，∠B=30∘\angle B=30^{\circ}，BE=10BE=10，
∴EH=12BE=5\therefore EH=\frac{1}{2}BE=5，
由勾股定理得：BH=BH2−EH2=53BH=\sqrt{B{H}^{2}-E{H}^{2}}=5\sqrt{3}，
∴AH=AB−BH=10−53\therefore AH=AB-BH=10-5\sqrt{3}，
在Rt△AEHRt\triangle AEH中，由勾股定理得：AE2=AH2+HE2=(10−53)2+52=200−1003AE^{2}=AH^{2}+HE^{2}=(10-5\sqrt{3})^{2}+{5}^{2}=200-100\sqrt{3}，
∴\therefore以AEAE长为半径所作圆的面积为：AB2×π=(200−1003)πAB^{2}\times \pi =(200-100\sqrt{3})π.
故答案为：(200−1003)π(200-100\sqrt{3})π.

解析

连接CECE，过点EE作EH⊥ABEH\bot AB于HH，如图所示：

依题意得：点BB，CC，EE在同一条直线上，∠CED=15∘\angle CED=15^{\circ}，AB=BE=10AB=BE=10，
∵EF⊥AE\because EF\bot AE，
∴∠AEB=90∘−∠CED=75∘\therefore \angle AEB=90^{\circ}-\angle CED=75^{\circ}，
∴∠BAE=∠AEB=75∘\therefore \angle BAE=\angle AEB=75^{\circ}，
∴∠B=180∘−2×75∘=30∘\therefore \angle B=180^{\circ}-2\times 75^{\circ}=30^{\circ}，
在Rt△BEHRt\triangle BEH中，∠B=30∘\angle B=30^{\circ}，BE=10BE=10，
∴EH=12BE=5\therefore EH=\frac{1}{2}BE=5，
由勾股定理得：BH=BH2−EH2=53BH=\sqrt{B{H}^{2}-E{H}^{2}}=5\sqrt{3}，
∴AH=AB−BH=10−53\therefore AH=AB-BH=10-5\sqrt{3}，
在Rt△AEHRt\triangle AEH中，由勾股定理得：AE2=AH2+HE2=(10−53)2+52=200−1003AE^{2}=AH^{2}+HE^{2}=(10-5\sqrt{3})^{2}+{5}^{2}=200-100\sqrt{3}，
∴\therefore以AEAE长为半径所作圆的面积为：AB2×π=(200−1003)πAB^{2}\times \pi =(200-100\sqrt{3})π.
故答案为：(200−1003)π(200-100\sqrt{3})π.

AI 自由组卷

围绕这道题再组一份练习 →

完整试卷

浏览同年级试卷结构 →