C

依题意，分两种情况讨论如下：
①当该等腰三角形的腰长为$3cm$时，则另一腰也为$3cm$，
$\therefore$底边长为：$13-2\times 3=7cm$，
此时该等腰三角形的三边为：$3cm$，$3cm$，$7cm$，
$\because 3+3 \lt 7$，不符合构成三角形的条件，不合题意，舍去；
②当底边长为$3cm$时，则腰的长为：$\left(13-3\right)\div 2=5cm$，
此时该等腰三角形的三边为：$3cm$，$5cm$，$5cm$，
$\because 3+5 \gt 5$，符合构成三角形的条件，
$\therefore$该等腰三角形的腰长是$5cm$.
故选：$C$.