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八年级数学解答题一般
题目
已知在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,点DD是边ABAB上一点,∠BCD=∠A\angle BCD=\angle A.
(1)(1)如图11,试说明CD=CBCD=CB的理由；
(2)(2)如图22,过点BB作BE⊥ACBE\bot AC,垂足为点EE,BEBE与CDCD相交于点FF.
①试说明∠BCD=2∠CBE\angle BCD=2\angle CBE的理由；
②如果△BDF\triangle BDF是等腰三角形,求∠A\angle A的度数.
知识点：全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定定理、勾股定理章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)∵AB=AC\left(1\right)\because AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB\therefore \angle ABC=\angle ACB，
∵∠BDC\because \angle BDC是△ADC\triangle ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD\therefore \angle BDC=\angle A+\angle ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD\because \angle ACB=\angle BCD+\angle ACD，∠BCD=∠A\angle BCD=\angle A，
∴∠BDC=∠ACB\therefore \angle BDC=\angle ACB，
∴∠ABC=∠BDC\therefore \angle ABC=\angle BDC.
∴CD=CB\therefore CD=CB；
(2)(2)①∵BE⊥AC\because BE\bot AC，
∴∠BEC=90∘\therefore \angle BEC=90^{\circ}，
∴∠CBE+∠ACB=90∘\therefore \angle CBE+\angle ACB=90^{\circ}，
设∠CBE=α\angle CBE=\alpha，则∠ACB=90∘−α\angle ACB=90^{\circ}-\alpha，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90∘−α\therefore \angle ACB=\angle ABC=\angle BDC=90^{\circ}-\alpha，
∴∠BCD=180∘−∠BDC−∠ABC=180∘−(90∘−α)−(90∘−α)=2α\therefore \angle BCD=180^{\circ}-\angle BDC-\angle ABC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha \right)-\left(90^{\circ}-\alpha \right)=2\alpha，
∴∠BCD=2∠CBE\therefore \angle BCD=2\angle CBE；
②∵∠BFD\because \angle BFD是△CBF\triangle CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α\therefore \angle BFD=\angle CBE+\angle BCD=\alpha +2\alpha =3\alpha，
分三种情况：
当BD=BFBD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α\therefore \angle BDC=\angle BFD=3\alpha，
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90∘−α\because \angle ACB=\angle ABC=\angle BDC=90^{\circ}-\alpha，
∴90∘−α=3α\therefore 90^{\circ}-\alpha =3\alpha，
∴α=22.5∘\therefore \alpha =22.5^{\circ}，
∴∠A=∠BCD=2α=45∘\therefore \angle A=\angle BCD=2\alpha =45^{\circ}；
当DB=DFDB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α\therefore \angle DBE=\angle BFD=3\alpha，
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90∘−α−α=90∘−2α\because \angle DBE=\angle ABC-\angle CBE=90^{\circ}-\alpha -\alpha =90^{\circ}-2\alpha，
∴90∘−2α=3α\therefore 90^{\circ}-2\alpha =3\alpha，
∴α=18∘\therefore \alpha =18^{\circ}，
∴∠A=∠BCD=2α=36∘\therefore \angle A=\angle BCD=2\alpha =36^{\circ}；
当FB=FDFB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF\therefore \angle DBE=\angle BDF，
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF\because \angle BDF=\angle ABC \gt \angle DBF，
∴\therefore不存在FB=FDFB=FD，
综上所述：如果△BDF\triangle BDF是等腰三角形，∠A\angle A的度数为45∘45^{\circ}或36∘36^{\circ}.

解析

(1)∵AB=AC\left(1\right)\because AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB\therefore \angle ABC=\angle ACB，
∵∠BDC\because \angle BDC是△ADC\triangle ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD\therefore \angle BDC=\angle A+\angle ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD\because \angle ACB=\angle BCD+\angle ACD，∠BCD=∠A\angle BCD=\angle A，
∴∠BDC=∠ACB\therefore \angle BDC=\angle ACB，
∴∠ABC=∠BDC\therefore \angle ABC=\angle BDC.
∴CD=CB\therefore CD=CB；
(2)(2)①∵BE⊥AC\because BE\bot AC，
∴∠BEC=90∘\therefore \angle BEC=90^{\circ}，
∴∠CBE+∠ACB=90∘\therefore \angle CBE+\angle ACB=90^{\circ}，
设∠CBE=α\angle CBE=\alpha，则∠ACB=90∘−α\angle ACB=90^{\circ}-\alpha，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90∘−α\therefore \angle ACB=\angle ABC=\angle BDC=90^{\circ}-\alpha，
∴∠BCD=180∘−∠BDC−∠ABC=180∘−(90∘−α)−(90∘−α)=2α\therefore \angle BCD=180^{\circ}-\angle BDC-\angle ABC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha \right)-\left(90^{\circ}-\alpha \right)=2\alpha，
∴∠BCD=2∠CBE\therefore \angle BCD=2\angle CBE；
②∵∠BFD\because \angle BFD是△CBF\triangle CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α\therefore \angle BFD=\angle CBE+\angle BCD=\alpha +2\alpha =3\alpha，
分三种情况：
当BD=BFBD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α\therefore \angle BDC=\angle BFD=3\alpha，
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90∘−α\because \angle ACB=\angle ABC=\angle BDC=90^{\circ}-\alpha，
∴90∘−α=3α\therefore 90^{\circ}-\alpha =3\alpha，
∴α=22.5∘\therefore \alpha =22.5^{\circ}，
∴∠A=∠BCD=2α=45∘\therefore \angle A=\angle BCD=2\alpha =45^{\circ}；
当DB=DFDB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α\therefore \angle DBE=\angle BFD=3\alpha，
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90∘−α−α=90∘−2α\because \angle DBE=\angle ABC-\angle CBE=90^{\circ}-\alpha -\alpha =90^{\circ}-2\alpha，
∴90∘−2α=3α\therefore 90^{\circ}-2\alpha =3\alpha，
∴α=18∘\therefore \alpha =18^{\circ}，
∴∠A=∠BCD=2α=36∘\therefore \angle A=\angle BCD=2\alpha =36^{\circ}；
当FB=FDFB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF\therefore \angle DBE=\angle BDF，
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF\because \angle BDF=\angle ABC \gt \angle DBF，
∴\therefore不存在FB=FDFB=FD，
综上所述：如果△BDF\triangle BDF是等腰三角形，∠A\angle A的度数为45∘45^{\circ}或36∘36^{\circ}.

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