D

$\because \angle BAC$和$\angle ABC$的平分线$AE$，$BF$相交于点$O$，
$\therefore ∠OAB=\frac{1}{2}∠CAB$，$∠OBA=\frac{1}{2}∠CBA$，
$\therefore \angle AOB=180^{\circ}-\angle OBA-\angle OAB$
$=180°-\frac{1}{2}∠CBA-\frac{1}{2}∠CAB$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠C)$
$=90°+\frac{1}{2}∠C$，故①正确；
$\because \angle C=60^{\circ}$，
$\therefore 120^{\circ}=\angle BAC+\angle BCA$，
$\because AE$，$BF$分别是$\angle BAC$和$\angle ABC$的平分线，
$\therefore ∠OAB+∠OBA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=60°$，
$\therefore \angle AOB=120^{\circ}$，
$\therefore \angle AOF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE=60^{\circ}$，
如图所示，在$AB$上取一点$H$，使$BH=BE$，

$\because BF$是$\angle ABC$的角平分线，
$\therefore \angle EBO=\angle HBO$，
在$\triangle EBO$和$\triangle HBO$中，
$\left\{\begin{array}{c}BH=BE\\∠HBO=∠EBO\\ BO=BO\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle EBO$≌$\triangle HBO\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BOE=\angle BOH=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOF=\angle AOH=60^{\circ}$，
在$\triangle FAO$和$\triangle HAO$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠HOA=∠FAO\\ AO=AO\\∠AOH=∠AOF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle FAO$≌$\triangle HAO\left(ASA\right)$，
$\therefore AH=AF$，
$\therefore AB=BH+AH=BE+AF$，故②正确；
③$OE=OF$不一定成立，故③错误；
如图所示，作$OM\bot AB$于$M$，$OH\bot AC$于$H$，

$\because \angle BAC$和$\angle ABC$的平分线相交于点$O$，
$\therefore OD=OM=OH$；
设$OM=OH=OD=a$，
$\because AB+BC+CA=18$，
$\therefore {S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•OM+\frac{1}{2}AC•OH+\frac{1}{2}BC•OD$
$=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)•a$
$=9a=27$，
$\therefore a=OD=3$，故④正确；
故选：$D$.