C

当$80^{\circ}$是等腰三角形的顶角时，则顶角就是$80^{\circ}$，底角为$\frac{1}{2}(180^{\circ}-80^{\circ})=50^{\circ}$；
当$80^{\circ}$是等腰三角形的底角时，则顶角是$180^{\circ}-80^{\circ}\times 2=20^{\circ}$.
$\therefore$等腰三角形的底角为$50^{\circ}$或$80^{\circ}$.
故选：$C$.